Dê uma primitiva de f:
r(\theta)=\cos (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede: "Dê uma primitiva de r(\theta)=\cos(2\theta)".
Informações fornecidas: a função a integrar é \cos(2\theta), definida para \theta\in\mathbb{R}. A primitiva significa encontrar uma função R(\theta) tal que R'(\theta)=\cos(2\theta). Não há outras restrições fornecidas.

Passo 2

Estratégia: observar que \cos(2\theta) é uma composição de funções do tipo \cos(u) com u=2\theta. Uma técnica direta é usar substituição (ou reconhecer a fórmula geral \int \cos(a x)\,dx=\tfrac{1}{a}\sin(a x)+C). Vou aplicar a substituição para explicar passo a passo.

Passo 3

Faça a substituição
u = 2\theta.
Então du = 2\,d\theta, o que implica
d\theta = \tfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral de \cos(2\theta) obtemos a integral equivalente em u.

Passo 4

Transformando a integral:
\int \cos(2\theta)\,d\theta = \int \cos(u)\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int \cos(u)\,du.
Aqui só substituímos 2\theta por u e d\theta por \tfrac{1}{2}du.

Passo 5

Conhecemos a primitiva de \cos(u):
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração. Aplicando isso na expressão anterior:
\tfrac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \tfrac{1}{2}\sin(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável original \theta (substituindo u=2\theta):
\int \cos(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) + C.
Portanto uma primitiva é \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)+C.

Passo 7

Verificação rápida (importante na prova): diferencie a primitiva encontrada para checar se volta à função original. Calcule
\frac{d}{d\theta}\!\left(\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right).
Usando a regra da cadeia, a derivada de \sin(2\theta) é 2\cos(2\theta), logo
\frac{d}{d\theta}\!\left(\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2\theta)=\cos(2\theta),
que é exatamente r(\theta). Tudo certo.

Passo 8

Dica prática para a prova: sempre que tiver \cos(a x) ou \sin(a x), lembre que a primitiva é \tfrac{1}{a}\sin(a x) e -\tfrac{1}{a}\cos(a x), respectivamente. Ou seja,
\int \cos(a x)\,dx = \tfrac{1}{a}\sin(a x)+C,\qquad \int \sin(a x)\,dx = -\tfrac{1}{a}\cos(a x)+C.
Isso vem diretamente da aplicação do método que fizemos aqui.

Resposta

\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)+C

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