Dê uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado pede: "Dê uma primitiva de
".
Informações fornecidas: a função a integrar é , definida para
. A primitiva significa encontrar uma função
tal que
. Não há outras restrições fornecidas.
Informações fornecidas: a função a integrar é
Passo 2
Estratégia: observar que
é uma composição de funções do tipo
com
. Uma técnica direta é usar substituição (ou reconhecer a fórmula geral
). Vou aplicar a substituição para explicar passo a passo.
Passo 3
Faça a substituição
Então
, o que implica
Substituindo na integral de
obtemos a integral equivalente em
.
Passo 4
Transformando a integral:
Aqui só substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Conhecemos a primitiva de
:
onde
é a constante de integração. Aplicando isso na expressão anterior:
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
):
Portanto uma primitiva é
.
Passo 7
Verificação rápida (importante na prova): diferencie a primitiva encontrada para checar se volta à função original. Calcule
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
, logo
que é exatamente
. Tudo certo.
Passo 8
Dica prática para a prova: sempre que tiver
ou
, lembre que a primitiva é
e
, respectivamente. Ou seja,
Isso vem diretamente da aplicação do método que fizemos aqui.