Dê uma primitiva de f:
f(x)=2 x e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=2x e^{x^{2}}\; e pede que eu encontre uma primitiva de \;f\;.
Informações relevantes: a função é dada explicitamente para todo x real e queremos uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Não há outras restrições.

Passo 2

O que é uma primitiva (ou antiderivada)? Uma função F é primitiva de f se, para todo x,
F'(x)=f(x).
Quando resolvemos integrais indefinidas escrevemos
\int f(x)\,dx=F(x)+C,
onde C é a constante de integração. Nosso objetivo é encontrar F(x) tal que \frac{d}{dx}F(x)=2x e^{x^{2}}.

Passo 3

Observação sobre a forma da função: vemos o produto de 2x por e^{x^{2}}. Isto sugere tentar uma substituição porque o expoente x^{2} tem derivada 2x. A ideia da substituição é transformar a integral em uma integral mais simples através de uma mudança de variável.

Passo 4

Faço a substituição explícita. Defino a nova variável
u = x^{2}.
Agora calculo o diferencial du em termos de dx. Derivando ambos os lados:
du = 2x\,dx.
Isso significa que o produto 2x\,dx aparece exatamente na integral original, então posso reescrever a integral de forma simples.

Passo 5

Reescrevo a integral usando u. Começo com
\int 2x e^{x^{2}}\,dx.
Como u=x^{2} e du=2x\,dx, a integral fica
\int e^{u}\,du.

Passo 6

Integro \int e^{u}\,du. Lembra: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}, porque \frac{d}{du}e^{u}=e^{u}. Logo
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Volto à variável original x substituindo u=x^{2}. Assim a primitiva encontrada é
F(x)=e^{x^{2}}+C.

Passo 8

Verificação (chegar na prova, gosto de checar): aplico a regra da cadeia para derivar F. A regra da cadeia diz que se G(x)=g(h(x)) então
G'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g(u)=e^{u} e h(x)=x^{2}. Temos g'(u)=e^{u} e h'(x)=2x. Portanto
\frac{d}{dx}e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x e^{x^{2}},
que é exatamente f(x). A verificação confirma que F é primitiva de f.

Passo 9

Observação prática para a prova: ao ver uma expressão e^{(\text{algo})} e notar que a derivada do “algo” aparece multiplicando, pense imediatemente em substituição u=\text{algo}. Exemplos rápidos: \int 3x^{2}e^{x^{3}}dx = e^{x^{3}}+C porque u=x^{3}\Rightarrow du=3x^{2}dx.

Resposta

e^{x^{2}}+C

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