Dê uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre uma primitiva de
Informações relevantes: a função é dada explicitamente para todo real e queremos uma função
tal que
. Não há outras restrições.
Informações relevantes: a função é dada explicitamente para todo
Passo 2
O que é uma primitiva (ou antiderivada)? Uma função
é primitiva de
se, para todo
,
Quando resolvemos integrais indefinidas escrevemos
onde
é a constante de integração. Nosso objetivo é encontrar
tal que
.
Passo 3
Observação sobre a forma da função: vemos o produto de
por
. Isto sugere tentar uma substituição porque o expoente
tem derivada
. A ideia da substituição é transformar a integral em uma integral mais simples através de uma mudança de variável.
Passo 4
Faço a substituição explícita. Defino a nova variável
Agora calculo o diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados:
Isso significa que o produto
aparece exatamente na integral original, então posso reescrever a integral de forma simples.
Passo 5
Reescrevo a integral usando
. Começo com
Como
e
, a integral fica
Passo 6
Integro
. Lembra: a primitiva de
em relação a
é
, porque
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Volto à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 8
Verificação (chegar na prova, gosto de checar): aplico a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia diz que se
então
Aqui
e
. Temos
e
. Portanto
que é exatamente
. A verificação confirma que
é primitiva de
.
Passo 9
Observação prática para a prova: ao ver uma expressão
e notar que a derivada do “algo” aparece multiplicando, pense imediatemente em substituição
. Exemplos rápidos:
porque
.