Sejam f(x)=12[a^x+a^-x] e g(x)=12[a^x-a^-x], a>0, a neq 1. Verifique que: g(x+y)=f(x) g(y)+f(y) g(x)

Passo 1

O enunciado diz que temos as funções
f(x)=tfrac12l(a^x + a^-xr), g(x)=tfrac12l(a^x - a^-xr), a>0,,aneq1,
e pede para verificar que
g(x+y)=f(x),g(y)+f(y),g(x)
O conteúdo é manipular exponenciais usando a propriedade a^u+v=a^u a^v.

Passo 2

Começamos calculando diretamente g(x+y):
g(x+y)=tfrac12l(a^x+y-a^-(x+y)r)=tfrac12l(a^x a^y - a^-xa^-yr)

Passo 3

Agora escrevemos a soma f(x)g(y)+f(y)g(x) e expandimos:
f(x)g(y)=tfrac12(a^x + a^-x)cdottfrac12(a^y - a^-y)=tfrac14l(a^x a^y - a^x a^-y + a^-xa^y - a^-xa^-yr),
f(y)g(x)=tfrac12(a^y + a^-y)cdottfrac12(a^x - a^-x)=tfrac14l(a^y a^x - a^y a^-x + a^-ya^x - a^-ya^-xr)

Passo 4

Somando f(x)g(y)+f(y)g(x), os termos mistos a^x a^-y, a^-xa^y, a^y a^-x e a^-ya^x se cancelam em pares, e sobra
tfrac14l(2a^x a^y - 2a^-xa^-yr)=tfrac12l(a^x a^y - a^-xa^-yr),
que coincide exatamente com g(x+y). Portanto, a identidade está verificada.

Resposta

g(x+y)=f(x),g(y)+f(y),g(x).

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