Dado os símbolos
e
Mostre
não é um número;
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Passo 1
Neste exercício vamos usar teoria de conjuntos e ordenação em ℝ para mostrar que o símbolo -∞ não pertence ao conjunto dos números reais.
Passo 2
Lembramos que os números reais ℝ formam um conjunto totalmente ordenado, mas não possuem nem elemento mínimo nem máximo. Ou seja, não existe um real m ∈ ℝ tal que para todo x ∈ ℝ valha m ≤ x.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que -∞ ∈ ℝ. Então teria que valer -∞ ≤ x para todo x ∈ ℝ, ou seja, -∞ seria o menor elemento de ℝ. Mas acabamos de ver que ℝ não admite mínimo.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição, a hipótese de que -∞ ∈ ℝ é falsa. Logo, -∞ não é um número real, mas apenas um símbolo usado para indicar crescimento sem limite inferior.
Resposta
-∞ não é um número real, mas um símbolo para denotar limite inferior infinito.