Verifique que F(x, y) é conservativo, determine uma função potencial varphi tal que F=nabla varphi e calcule integralC F cdot d gamma em cada um dos itens a seguir.
F(x, y)=(2 x y^3, 1+3 x^2 y^2) e C é uma curva que liga os pontos (1,4) e (3,1).

Passo 1

A questão pede para verificar que o campo vetorial F(x,y)=(2xy^3,,1+3x^2y^2) é conservativo, encontrar uma função potencial varphi(x,y) tal que nablavarphi=vec F e calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dgamma ao longo de qualquer curva C que liga (1,4) a (3,1). Vamos usar a definição de campo conservativo, derivadas parciais e o teorema fundamental para integrais de linha.

Passo 2

Para verificar que vec F=(P,Q) é conservativo, com P(x,y)=2xy^3 e Q(x,y)=1+3x^2y^2, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=6xy^2, partial Qpartial x=6xy^2
Como partial Ppartial y=partial Qpartial x em todo o domínio, vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial varphi(x,y), integramos P em relação a x:
varphi(x,y)=integral 2xy^3,dx = x^2y^3 + h(y), onde h(y) é função a determinar. Diferenciando em relação a y:
partialvarphipartial y=3x^2y^2 + h'(y)
e igualamos a Q(x,y)=1+3x^2y^2, obtendo h'(y)=1. Logo
h(y)=y + C (podemos tomar C=0). Assim
varphi(x,y)=x^2y^3 + y

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos, a integral de linha depende só dos extremos:
integralCvec Fcdot dgamma=varphi(3,1)-varphi(1,4)

Passo 5

Calculando os valores:
varphi(3,1)=3^2cdot1^3+1=9+1=10, varphi(1,4)=1^2cdot4^3+4=64+4=68
Logo
integralCvec Fcdot dgamma=10-68=-58

Resposta

A função potencial é varphi(x,y)=x^2y^3+y (até constante) e integralCvec Fcdot dgamma=-58.

Exercícios relacionados