Calcule todas as derivadas parciais de ordem 2 de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem. Ou seja, precisamos encontrar:
Também será útil verificar a simetria das derivadas mistas (por exemplo
).
Passo 2
Vou lembrar rapidamente o que significa derivada parcial e as regras básicas que vou usar, de forma bem direta:
- Derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo
) significa derivar tratando as outras variáveis como constantes. - Regra do produto: se
então . Aqui aplicamos a mesma ideia quando uma parcela é produto de variáveis. - Regra da cadeia simples para exponencial:
. - Regra do poder:
.
Essas regras serão aplicadas sempre que aparecerem termos comoou .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (passo obrigatório antes das segundas).
Derivada parcial em relação a
:
No primeiro termo
tratamos
e
como constantes, então a derivada é
. No segundo termo
não depende de
, logo a derivada é
. Assim
Derivada parcial em relação a
:
No primeiro termo a derivada é
(tratando
e
como constantes). No segundo termo a derivada é
. Logo
Derivada parcial em relação a
:
No primeiro termo a derivada de
é
, então dá
. No segundo termo, aplicando a regra do poder com
constante, obtemos
. Portanto
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem, derivando as primeiras derivadas conforme a variável indicada.
Começando por
: derivar
em relação a
. Aqui
não depende de
, então
Agora
: derivar
em relação a
. Nem
nem
dependem de
, então
Agora
: derivar
em relação a
. Para o primeiro termo a derivada de
dá
. Para o segundo termo, derivando
em relação a
(com
constante) dá
. Assim
Passo 5
Calcular as mistas.
Como checagem,
é derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
e
é constante, então
. Assim
, como esperado.
Cheque:
deriva
em relação a
:
-> derivando em
dá
. Consistente.
Cheque alternativo: derivar
em relação a
:
-> derivando em
dá
. Consistente, logo
.
Passo 6
Resumo didático rápido do que foi feito: a estratégia foi calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem tratando as outras variáveis como constantes, usando produto e cadeia quando necessário, e então derivar essas expressões novamente conforme a variável indicada para obter as segundas ordens. Sempre verifiquei a igualdade das mistas como checagem.