Calcule todas as derivadas parciais de ordem 2 de
f(x, y, z)=x y e^{z}+y z^{2} .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x y e^{z}+y z^{2}
e pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem. Ou seja, precisamos encontrar:
f_{xx},\quad f_{yy},\quad f_{zz},\quad f_{xy},\quad f_{xz},\quad f_{yz}.
Também será útil verificar a simetria das derivadas mistas (por exemplo f_{xy}=f_{yx}).

Passo 2

Vou lembrar rapidamente o que significa derivada parcial e as regras básicas que vou usar, de forma bem direta:
  • Derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo x) significa derivar tratando as outras variáveis como constantes.
  • Regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'. Aqui aplicamos a mesma ideia quando uma parcela é produto de variáveis.
  • Regra da cadeia simples para exponencial: \dfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z}.
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dz}z^{2}=2z.
    Essas regras serão aplicadas sempre que aparecerem termos como x y e^{z} ou y z^{2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (passo obrigatório antes das segundas).
Derivada parcial em relação a x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x y e^{z}+y z^{2}\big).
No primeiro termo x y e^{z} tratamos y e e^{z} como constantes, então a derivada é y e^{z}. No segundo termo y z^{2} não depende de x, logo a derivada é 0. Assim
f_x = y e^{z}.
Derivada parcial em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y e^{z}+y z^{2}\big).
No primeiro termo a derivada é x e^{z} (tratando x e e^{z} como constantes). No segundo termo a derivada é z^{2}. Logo
f_y = x e^{z} + z^{2}.
Derivada parcial em relação a z:
f_z=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y e^{z}+y z^{2}\big).
No primeiro termo a derivada de e^{z} é e^{z}, então dá x y e^{z}. No segundo termo, aplicando a regra do poder com y constante, obtemos 2 y z. Portanto
f_z = x y e^{z} + 2 y z.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem, derivando as primeiras derivadas conforme a variável indicada.
Começando por f_{xx}: derivar f_x = y e^{z} em relação a x. Aqui y e^{z} não depende de x, então
f_{xx}=0.
Agora f_{yy}: derivar f_y = x e^{z} + z^{2} em relação a y. Nem x e^{z} nem z^{2} dependem de y, então
f_{yy}=0.
Agora f_{zz}: derivar f_z = x y e^{z} + 2 y z em relação a z. Para o primeiro termo a derivada de e^{z} x y e^{z}. Para o segundo termo, derivando 2 y z em relação a z (com y constante) dá 2 y. Assim
f_{zz}=x y e^{z} + 2 y.

Passo 5

Calcular as mistas.
f_{xy}: derivar f_x = y e^{z} em relação a y. A derivada de y é 1 e e^{z} é constante, logo
f_{xy}=e^{z}.
Como checagem, f_{yx} é derivar f_y = x e^{z}+z^{2} em relação a x. A derivada de x e^{z} em relação a x é e^{z} e z^{2} é constante, então f_{yx}=e^{z}. Assim f_{xy}=f_{yx}, como esperado.
f_{xz}: derivar f_x = y e^{z} em relação a z. A derivada de e^{z} é e^{z}, multiplicada por y, então
f_{xz}=y e^{z}.
Cheque: f_{zx} deriva f_z em relação a x: f_z = x y e^{z}+2 y z -> derivando em x y e^{z}. Consistente.
f_{yz}: derivar f_y = x e^{z}+z^{2} em relação a z. A derivada de x e^{z} em relação a z é x e^{z}; a derivada de z^{2} é 2 z. Portanto
f_{yz}=x e^{z}+2 z.
Cheque alternativo: derivar f_z em relação a y: f_z = x y e^{z}+2 y z -> derivando em y x e^{z}+2 z. Consistente, logo f_{yz}=f_{zy}.

Passo 6

Resumo didático rápido do que foi feito: a estratégia foi calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem tratando as outras variáveis como constantes, usando produto e cadeia quando necessário, e então derivar essas expressões novamente conforme a variável indicada para obter as segundas ordens. Sempre verifiquei a igualdade das mistas como checagem.

Resposta

f_{xx}=0
f_{yy}=0
f_{zz}=x y e^{z}+2 y
f_{xy}=e^{z}
f_{xz}=y e^{z}
f_{yz}=x e^{z}+2 z

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