Calcule f_{x x}, f_{x y}, f_{y x}, f_{y y} para
f(x, y)=x^{2} y^{3}+\sin (x y)

Passo 1

O enunciado pede calcular as segundas derivadas parciais \,f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yx},\,f_{yy}\, da função
f(x,y)=x^{2}y^{3}+\sin(xy).
Informações fornecidas: a expressão de f(x,y) está completa; não há restrições de domínio adicionais. O objetivo é diferenciar parcialmente duas vezes, nas combinações indicadas.

Passo 2

Lembrete rápido (como vou proceder):
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se de derivar \,f considerando y como constante. Notação: \,f_x=\partial f/\partial x.
  • Derivada parcial em relação a y: derivar \,f considerando x como constante. Notação: \,f_y=\partial f/\partial y.
  • Para derivadas de produtos uso a regra do produto: se u(x,y)v(x,y) então \partial_x(uv)=u_x v + u v_x.
  • Para funções compostas (como \sin(xy) ou \cos(xy)) uso a regra da cadeia: \partial_x\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\partial_x(xy)=\cos(xy)\cdot y.
    Vou primeiro calcular \,f_x e \,f_y, depois derivar novamente para obter as segundas parciais.

Passo 3

Calcular \,f_x passo a passo:
  • Derivada de x^{2}y^{3} em relação a x: aqui y^{3} é constante, então
\partial_x(x^{2}y^{3})=2x\,y^{3}.
  • Derivada de \sin(xy) em relação a x: aplicar regra da cadeia, com a função interna (xy). Como \partial_x(xy)=y, obtemos
\partial_x\sin(xy)=\cos(xy)\cdot y.
Somando os termos:
f_x(x,y)=2x\,y^{3}+y\cos(xy).

Passo 4

Calcular \,f_{xx}=\partial_x(f_x):
Partes de f_x:
  • Derivada de 2x\,y^{3} em relação a x: y^{3} é constante, então
\partial_x(2x\,y^{3})=2\,y^{3}.
  • Derivada de y\cos(xy) em relação a x: y é constante multiplicativa, então
\partial_x\big(y\cos(xy)\big)=y\cdot\partial_x\cos(xy).
Agora, \partial_x\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot\partial_x(xy)=-\sin(xy)\cdot y. Portanto
\partial_x\big(y\cos(xy)\big)=y\cdot\big(-y\sin(xy)\big)=-y^{2}\sin(xy).
Somando:
f_{xx}(x,y)=2\,y^{3}-y^{2}\sin(xy).

Passo 5

Calcular \,f_y passo a passo:
  • Derivada de x^{2}y^{3} em relação a y: x^{2} é constante, então
\partial_y(x^{2}y^{3})=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de \sin(xy) em relação a y: regra da cadeia com \partial_y(xy)=x, então
\partial_y\sin(xy)=\cos(xy)\cdot x.
Somando:
f_y(x,y)=3x^{2}y^{2}+x\cos(xy).

Passo 6

Calcular \,f_{yy}=\partial_y(f_y):
Partes de f_y:
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a y: x^{2} constante, então
\partial_y(3x^{2}y^{2})=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
  • Derivada de x\cos(xy) em relação a y: x é constante multiplicativa, então
\partial_y\big(x\cos(xy)\big)=x\cdot\partial_y\cos(xy).
Agora, \partial_y\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot\partial_y(xy)=-\sin(xy)\cdot x. Portanto
\partial_y\big(x\cos(xy)\big)=x\cdot(-x\sin(xy))=-x^{2}\sin(xy).
Somando:
f_{yy}(x,y)=6x^{2}y-x^{2}\sin(xy).

Passo 7

Calcular as derivadas mistas \,f_{xy} e \,f_{yx} e verificar igualdade:
  • Começando por \,f_{xy}=\partial_y(f_x). Lembrando f_x=2x y^{3}+y\cos(xy).
    • \partial_y(2x y^{3})=2x\cdot 3y^{2}=6xy^{2}.
    • \partial_y(y\cos(xy)): produto u=y, v=\cos(xy). \partial_y(y\cos(xy))=1\cdot\cos(xy)+y\cdot\partial_y\cos(xy)=\cos(xy)+y\cdot(-\sin(xy)\cdot x).Portanto \partial_y(y\cos(xy))=\cos(xy)-x y\sin(xy).
    • Somando: f_{xy}(x,y)=6x y^{2}+\cos(xy)-x y\sin(xy).
  • Agora \,f_{yx}=\partial_x(f_y). Lembrando f_y=3x^{2}y^{2}+x\cos(xy).
    • \partial_x(3x^{2}y^{2})=6x y^{2}.
    • \partial_x(x\cos(xy)): produto u=x, v=\cos(xy). \partial_x(x\cos(xy))=1\cdot\cos(xy)+x\cdot\partial_x\cos(xy)=\cos(xy)+x\cdot(-\sin(xy)\cdot y).Portanto \partial_x(x\cos(xy))=\cos(xy)-x y\sin(xy).
    • Somando: f_{yx}(x,y)=6x y^{2}+\cos(xy)-x y\sin(xy).
Observação: obtivemos \,f_{xy}=f_{yx}, como esperado para funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).

Resposta

f_{xx}(x,y)=2y^{3}-y^{2}\sin(xy)
f_{xy}(x,y)=6xy^{2}+\cos(xy)-xy\sin(xy)
f_{yx}(x,y)=6xy^{2}+\cos(xy)-xy\sin(xy)
f_{yy}(x,y)=6x^{2}y-x^{2}\sin(xy)

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