Calcule
para
Passo 1
O enunciado pede calcular as segundas derivadas parciais
da função
Informações fornecidas: a expressão de
está completa; não há restrições de domínio adicionais. O objetivo é diferenciar parcialmente duas vezes, nas combinações indicadas.
Passo 2
Lembrete rápido (como vou proceder):
- Derivada parcial em relação a
: trata-se de derivar considerando como constante. Notação: - Derivada parcial em relação a
: derivar considerando como constante. Notação: - Para derivadas de produtos uso a regra do produto: se
então . - Para funções compostas (como
ou ) uso a regra da cadeia: .
Vou primeiro calculare , depois derivar novamente para obter as segundas parciais.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Derivada de
em relação a : aqui é constante, então
- Derivada de
em relação a : aplicar regra da cadeia, com a função interna . Como , obtemos
Somando os termos:
Passo 4
Calcular
:
Partes de :
Partes de
- Derivada de
em relação a : é constante, então
- Derivada de
em relação a : é constante multiplicativa, então
Agora,
. Portanto
Somando:
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Derivada de
em relação a : é constante, então
- Derivada de
em relação a : regra da cadeia com , então
Somando:
Passo 6
Calcular
:
Partes de :
Partes de
- Derivada de
em relação a : constante, então
- Derivada de
em relação a : é constante multiplicativa, então
Agora,
. Portanto
Somando:
Passo 7
Calcular as derivadas mistas
e
e verificar igualdade:
-
Começando por
. Lembrando . -
-
: produto , . Portanto - Somando:
-
-
Agora
. Lembrando . -
-
: produto , . Portanto - Somando:
-
Observação: obtivemos
, como esperado para funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).