Verifique que
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis, ou seja, que
O conteúdo chave aqui é que toda parte real ou imaginária de uma função analítica é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace. Vamos usar isso em vez de fazer a conta brutal das derivadas segundas.
Passo 2
Definimos a variável complexa
e consideramos a função composta
Note que, no domínio em que
(isto é, onde
), o quociente
é holomorfo e
também é uma função analítica (fora de seus cortes de ramo). Logo,
é analítica nesse domínio.
Passo 3
Escrevendo
pela teoria de funções de variável complexa cada uma das funções reais
e
satisfaz
Mas, por definição, a parte imaginária de
é
E, examinando o quibate, vê‐se que
Passo 4
Como
é analítica no domínio dado,
satisfaz
Portanto
ou seja,
é harmônica.