Verifique que
f(x, y)=\operatorname{arctg}\left(\frac{2}{x^{2} y^{2}-1}\right), x^{2}+y^{2} \neq 1
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis
\nabla^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=\arctan\!\Bigl(\frac{2}{x^{2}y^{2}-1}\Bigr)
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis, ou seja, que
\nabla^{2}f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.
O conteúdo chave aqui é que toda parte real ou imaginária de uma função analítica é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace. Vamos usar isso em vez de fazer a conta brutal das derivadas segundas.

Passo 2

Definimos a variável complexa
z = x + i y
e consideramos a função composta
F(z) \;=\;\arctan\!\bigl(2/(z^{2}-1)\bigr).
Note que, no domínio em que z^{2}-1\neq 0 (isto é, onde x^{2}y^{2}\neq1), o quociente 2/(z^{2}-1) é holomorfo e \arctan também é uma função analítica (fora de seus cortes de ramo). Logo, F(z) é analítica nesse domínio.

Passo 3

Escrevendo
F(z)=U(x,y)+i\,V(x,y),
pela teoria de funções de variável complexa cada uma das funções reais U e V satisfaz
\nabla^{2}U=0 \quad\text{e}\quad \nabla^{2}V=0.
Mas, por definição, a parte imaginária de F é
V(x,y)=\Im\bigl(\arctan(2/(z^{2}-1))\bigr).
E, examinando o quibate, vê‐se que
V(x,y) =\arctan\!\Bigl(\frac{\Im\{2/(z^{2}-1)\}}{\Re\{2/(z^{2}-1)\}}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\frac{2}{x^{2}y^{2}-1}\Bigr) =f(x,y).

Passo 4

Como F é analítica no domínio dado, V(x,y)=f(x,y) satisfaz
\nabla^{2}V=0.
Portanto
\nabla^{2}f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0,
ou seja, f é harmônica.

Resposta

\nabla^{2}f=0.

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