Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
F=y z x+x z y+x y z

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem o campo de vetores
vec F(x,y,z)=y,z,hat x + x,z,hat y + x,y,hat z
A matéria é Cálculo Vetorial e a ideia é descobrir se essa força é conservativa. Pra isso a gente vai precisar usar o operador rotacional (curl), que é feito com derivadas parciais. Se o curl der zero em todo o espaço (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo.

Passo 2

Teoria: um campo vetorial nablatimesvec F é conservativo se existe uma função escalar tal que . Um teste rápido é calcular o rotacional
Se em um domínio simples (tipo todo ), então é conservativa. Vamos montar o determinante para o curl.

Passo 3

Definindo Fx=y z, Fy=x z, Fz=x y, com
nablatimesvec F = hat x & hat y & hat z partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z y z & x z & x y
o rotacional em coordenadas cartesianas é
Isso dá três componentes:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :

Passo 4

Juntando tudo,
nablatimesvec F = (0,0,0)
E como nosso domínio é todo (que é simplesmente conexo), concluímos que é um campo conservativo.

Resposta

O campo é conservativo.

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