Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
F=y e^z x+z e^y y

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra gente verificar se o campo de força
vec F(x,y,z) = y,e^z,hat x ;+; z,e^y,hat y
é conservativo ou não. Isso é conteúdo de Cálculo Vetorial: um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que , e dá pra checar isso com o “teste do rotacional” (curl). Nosso domínio aqui é todo (que é simplesmente conexo), então basta ver se .

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo:
P(x,y,z) = y,e^z, Q(x,y,z) = z,e^y, R(x,y,z)=0
Em seguida, lembramos que o rotacional em coordenadas cartesianas é
nablatimes vec F = l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial zr)hat x + l(tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial xr)hat y + l(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr)hat z

Passo 3

Agora vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Componente em (nablatimes vec F)x = partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - partial (z,e^y)partial z = -,e^y :
(nablatimes vec F)y = partial Ppartial z - partial Rpartial x = partial (y,e^z)partial z - 0 = y,e^z
  1. Componente em (nablatimes vec F)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - partial (y,e^z)partial y = -,e^z :
  1. Componente em :

Passo 4

A gente viu que
nablatimes vec F = l(-e^yr),hat x ;+;l(y,e^zr),hat y ;+;l(-e^zr),hat z neq vec 0
Como o rotacional não é o vetor nulo, não é conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo.

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