Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
F=y z^2 x+x^2 z y+x y^2 z

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O exercício pede pra gente ver se o campo de forças
F(x,y,z)=y,z^2,x ;+; x^2,z,y ;+; x,y^2,z
é conservativo ou não. Esse assunto é de Cálculo Vetorial, e a ferramenta principal que a gente vai usar é o rotacional (curl) do campo: se o rotacional for zero em todo o espaço (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo; se não for, não é conservativo.

Passo 2

O que é um campo conservativo?
  • Significa que existe uma função potencial nabla times F = x & y & z partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z Fx & Fy & Fz tal que
    .
  • Um teste prático (num domínio sem “buracos”) é verificar se
    .
    Então a gente vai calcular componente a componente do rotacional:

[
\nabla \times \vec{F}

.
]

Passo 3

Primeiro, identifiquemos as componentes:
Fx = y,z^2, Fy = x^2,z, Fz = x,y^2
A definição do rotacional dá:
[
\nabla \times \vec{F}

\bigl(,
\underbrace{\frac{\partial F_z}{\partial y}
-\frac{\partial F_y}{\partial z}}{(1)},;
\underbrace{\frac{\partial F_x}{\partial z}
-\frac{\partial F_z}{\partial x}}
{(2)},;
\underbrace{\frac{\partial F_y}{\partial x}
-\frac{\partial F_x}{\partial y}}_{(3)}
,\bigr).
]

Passo 4

Agora é só derivar cada pedacinho:
(1) Componente partial Fzpartial y = partial (x,y^2)partial y = 2xy, partial Fypartial z = partial (x^2 z)partial z = x^2, :
(nabla times F)x = 2xy - x^2
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partial Fxpartial z = partial (y,z^2)partial z = 2yz, partial Fzpartial x = partial (x,y^2)partial x = y^2,
(2) Componente (nabla times F)y = 2yz - y^2 :
partial Fypartial x = partial (x^2 z)partial x = 2xz, partial Fxpartial y = partial (y,z^2)partial y = z^2,
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(nabla times F)z = 2xz - z^2
(3) Componente :
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Passo 5

Juntando tudo,
[
\nabla \times \vec{F}

\bigl(,2xy - x^2,;2yz - y^2,;2xz - z^2\bigr).
]
Pra um campo ser conservativo, isso teria que ser nabla times F = l(,2xy - x^2,;2yz - y^2,;2xz - z^2r) para todo .
Mas claramente não é sempre zero (por exemplo, no ponto ).

Resposta

O campo não é conservativo, porque .

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