Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O exercício pede pra gente ver se o campo de forças
é conservativo ou não. Esse assunto é de Cálculo Vetorial, e a ferramenta principal que a gente vai usar é o rotacional (curl) do campo: se o rotacional for zero em todo o espaço (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo; se não for, não é conservativo.
Passo 2
O que é um campo conservativo?
Significa que existe uma função potencial tal que .
Um teste prático (num domínio sem “buracos”) é verificar se .
Então a gente vai calcular componente a componente do rotacional:
[
\nabla \times \vec{F}
.
]
Passo 3
Primeiro, identifiquemos as componentes: Fx = y,z^2, Fy = x^2,z, Fz = x,y^2
A definição do rotacional dá:
[
\nabla \times \vec{F}
(1) Componente partial Fzpartial y = partial (x,y^2)partial y = 2xy, partial Fypartial z = partial (x^2 z)partial z = x^2, :
(nabla times F)x = 2xy - x^2
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partial Fxpartial z = partial (y,z^2)partial z = 2yz, partial Fzpartial x = partial (x,y^2)partial x = y^2,
(2) Componente (nabla times F)y = 2yz - y^2 :
partial Fypartial x = partial (x^2 z)partial x = 2xz, partial Fxpartial y = partial (y,z^2)partial y = z^2,
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(nabla times F)z = 2xz - z^2
(3) Componente :
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Passo 5
Juntando tudo,
[
\nabla \times \vec{F}
\bigl(,2xy - x^2,;2yz - y^2,;2xz - z^2\bigr).
]
Pra um campo ser conservativo, isso teria que ser nabla times F = l(,2xy - x^2,;2yz - y^2,;2xz - z^2r) para todo.
Mas claramente não é sempre zero (por exemplo, no ponto dá ).