Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:
2 x y d x+x^{2} d y

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
2 x y\, dx + x^{2}\, dy
e pede para verificar se ela é exata. Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=2xy,\qquad N(x,y)=x^{2}.
A pergunta é: essa forma é exata (isto é, existe uma função potencial f(x,y) tal que df=2xy\,dx+x^{2}\,dy)?

Passo 2

Definição e critério prático: uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe f(x,y) tal que
df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy = M\,dx+N\,dy.
Isso implica que
\frac{\partial f}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=N.
Quando M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, um teste rápido é verificar se as derivadas mistas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Esse critério vem da igualdade das derivadas mistas de f (Teorema de Clairaut), porque se M=\partial f/\partial x então \partial M/\partial y=\partial^2 f/\partial y\partial x e análogamente para N.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias para aplicar o critério:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x, o critério é satisfeito.

Passo 4

Comentário sobre o domínio: M e N são polinômios, suas derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo. Portanto a condição anterior garante que a forma é exata em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Encontrando explicitamente uma função potencial f: sabemos que \partial f/\partial x=M=2xy. Integramos em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração relativa a x). Agora impomos \partial f/\partial y=N:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+h'(y)\stackrel{!}{=}x^{2}.
Daí h'(y)=0, logo h(y)=C (constante). Portanto
f(x,y)=x^{2}y + C.
Verificação rápida: \partial f/\partial x=2xy e \partial f/\partial y=x^{2}, que coincidem com M e N.

Resposta

A forma é exata; função potencial f(x,y)=x^{2}y + C.

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