Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A pergunta é: essa forma é exata (isto é, existe uma função potencial
tal que
)?
Passo 2
Definição e critério prático: uma forma diferencial
é exata se existe
tal que
Isso implica que
Quando
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, um teste rápido é verificar se as derivadas mistas coincidem:
Esse critério vem da igualdade das derivadas mistas de
(Teorema de Clairaut), porque se
então
e análogamente para
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias para aplicar o critério:
Como
, o critério é satisfeito.
Passo 4
Comentário sobre o domínio:
e
são polinômios, suas derivadas parciais são contínuas em todo
, e
é simplesmente conexo. Portanto a condição anterior garante que a forma é exata em todo
.
Passo 5
Encontrando explicitamente uma função potencial
: sabemos que
. Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração relativa a
). Agora impomos
:
Daí
, logo
(constante). Portanto
Verificação rápida:
e
, que coincidem com
e
.
Resposta
A forma é exata; função potencial
.