Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:
e^{x^{2}+y^{2}} \cdot(x d x+y d y)

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
\omega = e^{x^{2}+y^{2}}\bigl(x\,dx + y\,dy\bigr)
e pede que verifiquemos se ela é exata, com justificativa. Informações relevantes que temos: a expressão explícita de M(x,y) e N(x,y) quando escrevemos \omega = M\,dx + N\,dy; a forma está bem definida para todo ponto (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que significa “forma exata” e qual critério usaremos (aula rápida e prática). Uma 1-forma \omega = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy é exata em uma região se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \phi_x\,dx + \phi_y\,dy = M\,dx + N\,dy.
Isso implica que \phi_x = M e \phi_y = N. Consequentemente, se \varphi é suficientemente suave, os derivados mistos satisfazem \phi_{xy} = \phi_{yx}, ou seja,
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Esse teste ( \partial M/\partial y = \partial N/\partial x) é uma forma prática de verificar exatidão quando a região é simplesmente conexa (sem “buracos”) e M,N têm derivadas contínuas. Observação amiga: \mathbb{R}^2 é simplesmente conexa, então o teste é suficiente aqui.

Passo 3

Identificamos M e N a partir da forma dada:
M(x,y) = e^{x^{2}+y^{2}}\,x,\qquad N(x,y) = e^{x^{2}+y^{2}}\,y.
Ambas as funções são C^{\infty} (suaves) em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias, explicando passo a passo (regra da cadeia e produto).
Cálculo de \partial M/\partial y. Como M(x,y)=x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}, ao derivar em relação a y tratamos x como constante e aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial M}{\partial y} = x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Como \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = 2y, segue
\frac{\partial M}{\partial y} = x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y = 2xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Cálculo de \partial N/\partial x. De forma análoga, N(x,y)=y\cdot e^{x^{2}+y^{2}}. Derivando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial N}{\partial x} = y\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = y\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = y\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x} = 2xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Comparando os resultados obtidos:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2xy\,e^{x^{2}+y^{2}} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Como as derivadas parciais são contínuas e a igualdade vale em toda \mathbb{R}^{2}, e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexa, concluímos que a forma é exata em \mathbb{R}^{2}.
Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial \varphi (útil na prova ou na hora da prova): integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int x\,e^{x^{2}+y^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição u = x^{2}+y^{2}, temos du = 2x\,dx, então
\int x\,e^{x^{2}+y^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}e^{u} + C(y) = \tfrac{1}{2}e^{x^{2}+y^{2}} + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Para determinar C(y), derivamos \varphi em relação a y e igualamos a N:
\phi_y = \frac{1}{2}e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y + C'(y) = y\,e^{x^{2}+y^{2}} + C'(y).
Como \phi_y deve ser igual a N=y\,e^{x^{2}+y^{2}}, segue C'(y)=0, logo C(y) é constante. Assim uma potencial é
\varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}e^{x^{2}+y^{2}} + \text{constante}.

Resposta

A forma é exata em \mathbb{R}^{2}. Uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}e^{x^{2}+y^{2}}+C.

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