Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
e pede que verifiquemos se ela é exata, com justificativa. Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
e
quando escrevemos
; a forma está bem definida para todo ponto
.
Passo 2
O que significa “forma exata” e qual critério usaremos (aula rápida e prática). Uma 1-forma
é exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Isso implica que
e
. Consequentemente, se
é suficientemente suave, os derivados mistos satisfazem
, ou seja,
Esse teste (
) é uma forma prática de verificar exatidão quando a região é simplesmente conexa (sem “buracos”) e
têm derivadas contínuas. Observação amiga:
é simplesmente conexa, então o teste é suficiente aqui.
Passo 3
Identificamos
e
a partir da forma dada:
Ambas as funções são
(suaves) em todo
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais necessárias, explicando passo a passo (regra da cadeia e produto).
Cálculo de
. Como
, ao derivar em relação a
tratamos
como constante e aplicamos a regra da cadeia:
Como
, segue
Cálculo de
. De forma análoga,
. Derivando em relação a
(com
constante):
Portanto
Passo 5
Comparando os resultados obtidos:
Como as derivadas parciais são contínuas e a igualdade vale em toda
, e
é simplesmente conexa, concluímos que a forma é exata em
.
Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial
(útil na prova ou na hora da prova): integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a substituição
, temos
, então
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Como
deve ser igual a
, segue
, logo
é constante. Assim uma potencial é
Resposta
A forma é exata em
. Uma função potencial é
.