Calcule
, onde
é uma curva de classe
por partes, com imagem contida no semiplano
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral de linha
onde
é uma curva de classe
por partes cuja imagem está contida no semiplano
e com pontos finais
e
.
Informações relevantes dadas:
- O campo vetorial é
com
- A curva fica inteiramente no semiplano
(ou seja, não passa pela origem ). - Pontos inicial e final:
e .
Passo 2
Vamos verificar se o campo é conservativo na região considerada (o semiplano
). Para isso calculamos as derivadas parciais necessárias e comparamos:
Calculemos
. Com
, usando a regra do quociente,
Agora
com
:
Portanto
em todos os pontos onde
. Como a imagem da curva está em
, nunca atingimos
, então a igualdade vale ao longo da curva.
Passo 3
Explico por que isso importa: quando num domínio aberto e simplesmente conexo um campo vetorial
satisfaz
, então
é conservativo — isto é, existe uma função potencial
tal que
. O semiplano
é aberto e simplesmente conexo (não tem “buracos”) e não contém a origem, então a condição de igualdade das derivadas garante que
tem uma potencial bem definida e contínua em todo esse semiplano.
Uma função natural candidata a potencial é a função argumento (ângulo)
em coordenadas polares, pois em polares
é justamente
. Concretamente, tomemos
ou mais corretamente a versão contínua do argumento
escolhida com valores em
no semiplano
. Vou verificar que
tem as derivadas certas.
Passo 4
Vamos derivar
usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos
e
. Temos
. Então
Simplificando
, obtemos
que coincide com
.
De modo análogo,
que coincide com
. Logo
no semiplano
.
Passo 5
Porque
é conservativo no semiplano
, a integral de linha depende só dos pontos finais e não do caminho. Assim
Precisamos então calcular os valores de
nos pontos dados.
Para
temos
Para
devemos ter cuidado com o quadrante:
e
, portanto o ângulo está no segundo quadrante. A fórmula
(o arctan principal) dá um valor negativo quando
, então usamos o ajuste adicionando
. Uma forma clara de escrever o ângulo é
porque
e somando
dá o ângulo no segundo quadrante. Esse valor está entre
e
, como deve ser.
Passo 6
Agora calculamos a diferença:
Esse é o valor da integral pedida, expresso em termos de
.