Calcule
\int_{\gamma} \frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \cdot d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \cdot d y, onde \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva de classe C^{1} por partes, com imagem contida no semiplano y>0 tal que \gamma(0)=(1,1) e \gamma(1)=(-2,3).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy,
onde \gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2 é uma curva de classe C^{1} por partes cuja imagem está contida no semiplano \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>0\} e com pontos finais \gamma(0)=(1,1) e \gamma(1)=(-2,3).
Informações relevantes dadas:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y)=\big(P(x,y),Q(x,y)\big) com
P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • A curva fica inteiramente no semiplano y>0 (ou seja, não passa pela origem (0,0)).
  • Pontos inicial e final: \gamma(0)=(1,1) e \gamma(1)=(-2,3).

Passo 2

Vamos verificar se o campo é conservativo na região considerada (o semiplano y>0). Para isso calculamos as derivadas parciais necessárias e comparamos:
\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial P}{\partial y}.
Calculemos \frac{\partial Q}{\partial x}. Com Q(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}, usando a regra do quociente,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^2+y^2)\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Agora \frac{\partial P}{\partial y} com P(x,y)=-\dfrac{y}{x^2+y^2}:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2)\cdot 1 -(-y)\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2-y^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Portanto \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y} em todos os pontos onde x^2+y^2\neq 0. Como a imagem da curva está em y>0, nunca atingimos (0,0), então a igualdade vale ao longo da curva.

Passo 3

Explico por que isso importa: quando num domínio aberto e simplesmente conexo um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) satisfaz \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y, então \mathbf{F} é conservativo — isto é, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. O semiplano y>0 é aberto e simplesmente conexo (não tem “buracos”) e não contém a origem, então a condição de igualdade das derivadas garante que \mathbf{F} tem uma potencial bem definida e contínua em todo esse semiplano.
Uma função natural candidata a potencial é a função argumento (ângulo) \theta em coordenadas polares, pois em polares \mathbf{F} é justamente d\theta. Concretamente, tomemos
\varphi(x,y)=\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)
ou mais corretamente a versão contínua do argumento \operatorname{Arg}(x+iy) escolhida com valores em (0,\pi) no semiplano y>0. Vou verificar que \varphi tem as derivadas certas.

Passo 4

Vamos derivar \varphi(x,y)=\arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big) usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos u(x,y)=\dfrac{y}{x} e \varphi(x,y)=\arctan(u). Temos \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Então
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{1}{1+u^{2}}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right).
Simplificando 1+(y/x)^2=\dfrac{x^2+y^2}{x^2}, obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2+y^2},
que coincide com P(x,y).
De modo análogo,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2},
que coincide com Q(x,y). Logo \nabla\varphi=\mathbf{F} no semiplano y>0.

Passo 5

Porque \mathbf{F} é conservativo no semiplano y>0, a integral de linha depende só dos pontos finais e não do caminho. Assim
\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy = \varphi\big(\gamma(1)\big)-\varphi\big(\gamma(0)\big).
Precisamos então calcular os valores de \varphi nos pontos dados.
Para \gamma(0)=(1,1) temos
\varphi(1,1)=\arctan\!\bigg(\frac{1}{1}\bigg)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Para \gamma(1)=(-2,3) devemos ter cuidado com o quadrante: x=-2<0 e y=3>0, portanto o ângulo está no segundo quadrante. A fórmula \arctan(y/x) (o arctan principal) dá um valor negativo quando x<0, então usamos o ajuste adicionando \pi. Uma forma clara de escrever o ângulo é
\varphi(-2,3)=\pi-\arctan\!\bigg(\frac{3}{2}\bigg),
porque \arctan\!\big(\frac{3}{-2}\big)=-\arctan\!\big(\frac{3}{2}\big) e somando \pi dá o ângulo no segundo quadrante. Esse valor está entre \pi/2 e \pi, como deve ser.

Passo 6

Agora calculamos a diferença:
\varphi(-2,3)-\varphi(1,1) = \Big(\pi-\arctan\!\big(\tfrac{3}{2}\big)\Big)-\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}-\arctan\!\big(\tfrac{3}{2}\big).
Esse é o valor da integral pedida, expresso em termos de \arctan(3/2).

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{4}-\arctan\!\bigg(\frac{3}{2}\bigg)

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