Verifique se as fórmulas abaixo são tautologias, contradições ou contingências.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
((P → Q) → (Q → R)) → (P → R)
é uma tautologia, contradição ou contingência. O conteúdo aqui é análise semântica de proposições usando tabela-verdade e vamos precisar conhecer a definição de valor-verdade de implicação: uma proposição A → B só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa; nos demais casos é verdadeira.
((P → Q) → (Q → R)) → (P → R)
é uma tautologia, contradição ou contingência. O conteúdo aqui é análise semântica de proposições usando tabela-verdade e vamos precisar conhecer a definição de valor-verdade de implicação: uma proposição A → B só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa; nos demais casos é verdadeira.
Passo 2
Vamos construir a tabela-verdade com todas as possíveis combinações de P, Q e R. As colunas serão: P, Q, R, P → Q, Q → R, (P → Q) → (Q → R), P → R e a fórmula completa.
Passo 3
Preenchendo a tabela (V = verdadeiro, F = falso):
P Q R | P→Q | Q→R | (P→Q)→(Q→R) | P→R | Fórmula
V V V | V | V | V | V | V
V V F | V | F | F | F | V (F→F = V)
V F V | F | V | V | V | V
V F F | F | V | V | F | F (V→F = F)
F V V | V | V | V | V | V
F V F | V | F | F | V | V (F→V = V)
F F V | V | V | V | V | V
F F F | V | V | V | V | V
P Q R | P→Q | Q→R | (P→Q)→(Q→R) | P→R | Fórmula
V V V | V | V | V | V | V
V V F | V | F | F | F | V (F→F = V)
V F V | F | V | V | V | V
V F F | F | V | V | F | F (V→F = F)
F V V | V | V | V | V | V
F V F | V | F | F | V | V (F→V = V)
F F V | V | V | V | V | V
F F F | V | V | V | V | V
Passo 4
Na linha em que P=V, Q=F, R=F a fórmula vale F, e há linhas em que vale V. Ou seja, às vezes é verdadeira e às vezes é falsa, logo não é sempre V (não é tautologia) e nem sempre F (não é contradição). Portanto é uma contingência.
Resposta
Contingência