Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique. f(x, y)=\frac{x y}{e^{x}+1} \mathrm{em}(0,0).
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{x y}{e^{x}+1}
e pede para verificar se essa função é contínua no ponto (0,0).\n
As perguntas que vamos responder são:
Qual é o valor de f(0,0) (se estiver definido)?
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0)? Em outras palavras: f é contínua em (0,0)?
Passo 2
Lembrete do conceito importante: uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Para mostrar continuidade via limites, é suficiente calcular f(0,0) e mostrar que o limite quando (x,y)\to(0,0) é igual a esse valor. Vou fazer isso construindo uma desigualdade que force o módulo de f(x,y) a ficar arbitrariamente pequeno quando (x,y) estiver perto de (0,0).
Passo 3
Primeiro calculemos o valor da função no próprio ponto (0,0) por substituição direta:
f(0,0)=\frac{0\cdot 0}{e^{0}+1}=\frac{0}{1+1}=0.
Passo 4
Observação sobre o denominador: para todo x\in\mathbb{R} vale e^{x}>0, logo e^{x}+1\ge 1. Portanto, para qualquer (x,y) diferente de (0,0) (e inclusive neste caso), o denominador é positivo e
Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a norma euclidiana de (x,y)). Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a desigualdade fica
\left|f(x,y)\right|\le \frac{r^{2}}{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0, portanto \dfrac{r^{2}}{2}\to 0. Pelo teorema do aperto (ou pelo fato de que uma função não-negativa limitada por outra que tende a zero também tende a zero), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 7
(Se quiser a versão formal \varepsilon-\delta.) Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\sqrt{2\varepsilon}>0.
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, usando a desigualdade do passo 6,
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \|(x,y)\|<\delta implica |f(x,y)-0|<\varepsilon. Portanto \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 8
Como f(0,0)=0 (Passo 3) e \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 (Passos 6–7), concluímos que