Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique.
f(x, y)=\frac{x y}{e^{x}+1} \mathrm{em}(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{x y}{e^{x}+1}
e pede para verificar se essa função é contínua no ponto (0,0).\n
As perguntas que vamos responder são:
  • Qual é o valor de f(0,0) (se estiver definido)?
  • \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0)? Em outras palavras: f é contínua em (0,0)?

Passo 2

Lembrete do conceito importante: uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Para mostrar continuidade via limites, é suficiente calcular f(0,0) e mostrar que o limite quando (x,y)\to(0,0) é igual a esse valor. Vou fazer isso construindo uma desigualdade que force o módulo de f(x,y) a ficar arbitrariamente pequeno quando (x,y) estiver perto de (0,0).

Passo 3

Primeiro calculemos o valor da função no próprio ponto (0,0) por substituição direta:
f(0,0)=\frac{0\cdot 0}{e^{0}+1}=\frac{0}{1+1}=0.

Passo 4

Observação sobre o denominador: para todo x\in\mathbb{R} vale e^{x}>0, logo e^{x}+1\ge 1. Portanto, para qualquer (x,y) diferente de (0,0) (e inclusive neste caso), o denominador é positivo e
\left|f(x,y)\right|=\left|\frac{x y}{e^{x}+1}\right|\le \frac{|x y|}{1}=|x y|.
Essa é uma desigualdade simples e muito útil: \left|f(x,y)\right|\le |x y|.

Passo 5

Agora vamos controlar |x y| em termos de x^2+y^2, que é a quantidade natural para medir a distância ao ponto (0,0). Uma desigualdade padrão é
2|x y|\le x^{2}+y^{2}.
Prova rápida dessa desigualdade: como (x-y)^{2}\ge 0, tem-se
x^{2}-2xy+y^{2}\ge 0\quad\Rightarrow\quad 2xy\le x^{2}+y^{2}.
Tomando valor absoluto em ambos os lados (e lembrando que x^{2}+y^{2}\ge 0) obtemos 2|x y|\le x^{2}+y^{2}.

Passo 6

Combinando as desigualdades dos passos anteriores temos
\left|f(x,y)\right|\le |x y|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a norma euclidiana de (x,y)). Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a desigualdade fica
\left|f(x,y)\right|\le \frac{r^{2}}{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0, portanto \dfrac{r^{2}}{2}\to 0. Pelo teorema do aperto (ou pelo fato de que uma função não-negativa limitada por outra que tende a zero também tende a zero), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 7

(Se quiser a versão formal \varepsilon- \delta.) Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\sqrt{2\varepsilon}>0.
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, usando a desigualdade do passo 6,
\left|f(x,y)\right|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{r^{2}}{2}<\frac{\delta^{2}}{2}=\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \|(x,y)\|<\delta implica |f(x,y)-0|<\varepsilon. Portanto \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 8

Como f(0,0)=0 (Passo 3) e \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 (Passos 6–7), concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0),
ou seja, f é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0).

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