Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique.
g(x, y)=e^{-x y} \ln \left(x^{2}-2 y+7\right) em ( 0,0 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
g(x,y)=e^{-x y}\ln\bigl(x^{2}-2y+7\bigr)
é contínua no ponto (0,0). As informações relevantes que temos:
  • A função envolve a exponencial e^{-xy} e o logaritmo natural \ln(\cdot).
  • O logaritmo exige que o argumento seja positivo: é preciso que x^{2}-2y+7>0.
  • No ponto indicado (0,0) temos x^{2}-2y+7 = 0^{2}-2\cdot0+7 = 7 > 0, logo g está bem definida em (0,0).
    A pergunta concreta é: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) existe e é igual a g(0,0)?

Passo 2

Calcular o valor da função no ponto, isto é g(0,0).
g(0,0)=e^{-0\cdot 0}\ln\bigl(0^{2}-2\cdot0+7\bigr)=e^{0}\ln(7)=1\cdot\ln(7)=\ln 7.

Passo 3

Lembrete sobre continuidade em uma função de duas variáveis: g é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=g(0,0).
Duas propriedades úteis e fáceis de usar na prova:
  • Somente funções contínuas compostas entre si dão continuidade: se h é contínua em um ponto e f é contínua no valor h naquele ponto, então f\circ h é contínua nesse ponto.
  • Produto e limites: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} u(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(0,0)} v(x,y)=M então \lim_{(x,y)\to(0,0)} u(x,y)v(x,y)=LM. Isso vale quando os limites existem finitos.
Vou usar essas ideias: mostrar que cada fator em g(x,y)=\bigl(e^{-xy}\bigr)\cdot\bigl(\ln(x^{2}-2y+7)\bigr) tem limite bem definido quando (x,y)\to(0,0).

Passo 4

Estabelecer continuidade do primeiro fator u(x,y)=e^{-xy}.
  • A função (x,y)\mapsto -xy é um polinômio em x,y, logo contínua em todo lugar.
  • A função t\mapsto e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • Pelo princípio da composição, u(x,y)=e^{-xy} é contínua em (0,0). Em particular,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{-xy}=e^{\lim_{(x,y)\to(0,0)}(-xy)}=e^{0}=1.

Passo 5

Estabelecer continuidade do segundo fator v(x,y)=\ln\bigl(x^{2}-2y+7\bigr).
  • A função p(x,y)=x^{2}-2y+7 é polinomial, logo contínua, e p(0,0)=7.
  • Como p(0,0)=7>0, existe uma vizinhança de (0,0) onde p(x,y)>0 (podemos provar com uma estimativa simples: se |x|<1 e |y|<1 então p(x,y)\ge 7-1-2=4>0). Assim o argumento do \ln permanece no domínio (0,\infty) perto de (0,0).
  • A função t\mapsto\ln t é contínua em (0,\infty).
  • Pelo princípio da composição, v(x,y)=\ln(p(x,y)) é contínua em (0,0). Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln\bigl(x^{2}-2y+7\bigr)=\ln\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}-2y+7)\bigr)=\ln(7).

Passo 6

Combinar os limites dos fatores:
  • Temos \lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{-xy}=1 e \lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln(x^{2}-2y+7)=\ln 7.
  • Pelo produto de limites, segue
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(e^{-xy}\bigr)\cdot\bigl(\ln(x^{2}-2y+7)\bigr)=1\cdot\ln 7=\ln 7.

Passo 7

Concluir continuidade: como o limite de g(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e é igual a g(0,0) (ambos valem \ln 7), então g é contínua em (0,0).

Resposta

Sim. g é contínua em (0,0) e g(0,0)=\ln 7.

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