Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique.
em ( 0,0 )
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. As informações relevantes que temos:
- A função envolve a exponencial
e o logaritmo natural . - O logaritmo exige que o argumento seja positivo: é preciso que
. - No ponto indicado
temos , logo está bem definida em .
A pergunta concreta é: o limiteexiste e é igual a ?
Passo 2
Calcular o valor da função no ponto, isto é
.
Passo 3
Lembrete sobre continuidade em uma função de duas variáveis:
é contínua em
se, e somente se,
Duas propriedades úteis e fáceis de usar na prova:
- Somente funções contínuas compostas entre si dão continuidade: se
é contínua em um ponto e é contínua no valor naquele ponto, então é contínua nesse ponto. - Produto e limites: se
e então . Isso vale quando os limites existem finitos.
Vou usar essas ideias: mostrar que cada fator em
tem limite bem definido quando
.
Passo 4
Estabelecer continuidade do primeiro fator
.
- A função
é um polinômio em , logo contínua em todo lugar. - A função
é contínua para todo . - Pelo princípio da composição,
é contínua em . Em particular,
Passo 5
Estabelecer continuidade do segundo fator
.
- A função
é polinomial, logo contínua, e . - Como
, existe uma vizinhança de onde (podemos provar com uma estimativa simples: se e então ). Assim o argumento do permanece no domínio perto de . - A função
é contínua em . - Pelo princípio da composição,
é contínua em . Portanto
Passo 6
Combinar os limites dos fatores:
- Temos
e . - Pelo produto de limites, segue
Passo 7
Concluir continuidade: como o limite de
quando
existe e é igual a
(ambos valem
), então
é contínua em
.
Resposta
Sim.
é contínua em
e
.