O valor da função no ponto é h(0,0)=0 (isso está explícito na definição).
Para x\neq 0 a função é o produto (x+y) vezes \sin(1/x).
O que precisamos mostrar: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=h(0,0)=0. Se o limite existir e for 0, então a função é contínua em (0,0).]
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): a função \sin é sempre limitada entre -1 e 1. Assim, \sin(1/x) não pode explodir quando x\to 0; o que pode ficar pequeno é o fator multiplicador (x+y). Se conseguirmos transformar a informação “\sin(1/x) é limitada” em uma desigualdade que mostre que |h(x,y)| fica arbitrariamente pequena quando (x,y) está perto de (0,0), teremos o limite 0. Isso pode ser feito por uma prova \varepsilon-\delta ou pelo teorema do confronto (squeeze). Vou fazer um \varepsilon-\delta explícito porque é o mais direto para prova de continuidade.
Passo 3
Primeiro resultado técnico útil (uso da limitação de seno):
Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x+y|=0, pelo teorema do confronto segue também que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\sin(1/x)=0. Mesmo resultado, outra visão.
Passo 6
Conclusão: o limite de h(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0, que é exatamente o valor h(0,0). Logo h é contínua em (0,0).