Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique.
h(x, y)= \begin{cases}(x+y) \operatorname{sen}\left({ }_{x}^{1}\right), & \text { se } x \neq 0 \\\ 0, \text { se } x=0\end{cases} em (0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
h(x,y)= \begin{cases} (x+y)\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right), & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0, \end{cases}
e pede para verificar se h é contínua em (0,0).
Informações relevantes que temos:
  • O valor da função no ponto é h(0,0)=0 (isso está explícito na definição).
  • Para x\neq 0 a função é o produto (x+y) vezes \sin(1/x).
O que precisamos mostrar: \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=h(0,0)=0. Se o limite existir e for 0, então a função é contínua em (0,0).]

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): a função \sin é sempre limitada entre -1 e 1. Assim, \sin(1/x) não pode explodir quando x\to 0; o que pode ficar pequeno é o fator multiplicador (x+y). Se conseguirmos transformar a informação “ \sin(1/x) é limitada” em uma desigualdade que mostre que |h(x,y)| fica arbitrariamente pequena quando (x,y) está perto de (0,0), teremos o limite 0. Isso pode ser feito por uma prova \varepsilon- \delta ou pelo teorema do confronto (squeeze). Vou fazer um \varepsilon- \delta explícito porque é o mais direto para prova de continuidade.

Passo 3

Primeiro resultado técnico útil (uso da limitação de seno):
\forall t\in\mathbb{R},\qquad |\sin t|\le 1.
Para x\neq 0 temos, portanto,
|h(x,y)|=\left|(x+y)\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| =|x+y|\;\left|\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| \le |x+y|.
Essa desigualdade é essencial: ela reduz o problema a controlar |x+y| quando (x,y) está perto de (0,0).

Passo 4

Agora a prova \varepsilon- \delta. Seja \varepsilon>0 qualquer. Escolho
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Se (x,y) satisfaz \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então |x|<\delta e |y|<\delta. Assim
|x+y|\le |x|+|y|<\delta+\delta=2\delta=\varepsilon.
Se x=0 então h(x,y)=0 e |h(x,y)-0|=0<\varepsilon. Se x\neq 0 aplicamos a desigualdade do Passo 3:
|h(x,y)-0|=|h(x,y)|\le |x+y|<\varepsilon.
Portanto, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos |h(x,y)-0|<\varepsilon. Isso mostra que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=0.

Passo 5

Interpretação alternativa (mais curta): para x\neq 0 vale
-\,|x+y|\le (x+y)\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\le |x+y|.
Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x+y|=0, pelo teorema do confronto segue também que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\sin(1/x)=0. Mesmo resultado, outra visão.

Passo 6

Conclusão: o limite de h(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0, que é exatamente o valor h(0,0). Logo h é contínua em (0,0).

Resposta

Sim. A função é contínua em (0,0).

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