Nos problemas a seguir, calcule o limite de
quando
tende a
ao longo de cada um dos caminhos indicados em i, ii e iii determinando, se existir,
.
i-
Ao longo do eixo
;
ii- Ao longo do eixo
;
iii- Ao longo da reta
;
i-
ii- Ao longo do eixo
iii- Ao longo da reta
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite de
quando
ao longo de três caminhos dados e, após isso, que eu determine se o limite geral
existe. A função fornecida é
Os caminhos solicitados são:
- (i) ao longo do eixo
(isto é, e ); - (ii) ao longo do eixo
(isto é, e ); - (iii) ao longo da reta
(isto é, e ).
Passo 2
Primeiro, entender o que significa "limitar ao longo do eixo
". Isso quer dizer: fixo o caminho
e faço
. Então substituo
em
.
Substituição:
Para todo
isso vale
. Ao me aproximar de
, o valor permanece
. Portanto o limite ao longo do eixo
é
.
Observação didática curta: aqui a razão dá
que, para
, é simplesmente
. Não há indeterminação na forma porque o numerador é identicamente zero ao longo desse caminho.
Passo 3
Agora o eixo
: isto é, fixo
e faço
. Substituo
em
.
Substituição:
Para todo
isso vale
. Ao me aproximar de
, o valor permanece
. Portanto o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 4
Agora a reta
. Substituo
em
e simplifico.
Substituição inicial:
Calculo o denominador:
Portanto
Para
posso cancelar
e obter
Isto mostra que, ao longo da reta
(para
pequeno mas não zero), a função é constante igual a
. Assim, quando
ao longo dessa reta, o limite é
.
Explicação didática: mesmo que tanto numerador quanto denominador tendam a zero quando
, aqui após simplificação o valor fica constante e igual a
, então o limite é esse número.
Passo 5
Comparando os resultados obtidos:
- ao longo do eixo
: limite ; - ao longo do eixo
: limite ; - ao longo da reta
: limite .
Como os limites ao longo de diferentes caminhos que chegam ao mesmo ponto
são diferentes (0 versus
), a conclusão lógica é que o limite de
quando
não existe.
Breve comentário extra (útil para provas): uma forma sistemática de ver dependência de direção é usar coordenadas polares
,
. Fazendo isso temos
que depende de
(ou seja, depende da direção de aproximação), mostrando imediatamente que o limite geral quando
depende da direção e portanto não existe.
Resposta
i)
ii)
iii)
não existe.
ii)
iii)