Nos problemas a seguir, calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em i, ii e iii determinando, se existir, \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).
f(x, y)=\frac{3 x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
i- \quad Ao longo do eixo x;
ii- Ao longo do eixo y;
iii- Ao longo da reta y=x;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo de três caminhos dados e, após isso, que eu determine se o limite geral \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe. A função fornecida é
f(x,y)=\frac{3x^{2}y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.
Os caminhos solicitados são:
  • (i) ao longo do eixo x (isto é, y=0 e x\to0);
  • (ii) ao longo do eixo y (isto é, x=0 e y\to0);
  • (iii) ao longo da reta y=x (isto é, y=x e x\to0).

Passo 2

Primeiro, entender o que significa "limitar ao longo do eixo x". Isso quer dizer: fixo o caminho y=0 e faço x\to0. Então substituo y=0 em f.
Substituição:
f(x,0)=\frac{3x^{2}\cdot 0^{2}}{\left(x^{2}+0^{2}\right)^{2}}=\frac{0}{(x^{2})^{2}}=\frac{0}{x^{4}}.
Para todo x\neq0 isso vale 0. Ao me aproximar de x=0, o valor permanece 0. Portanto o limite ao longo do eixo x é 0.
Observação didática curta: aqui a razão dá 0/x^{4} que, para x\neq0, é simplesmente 0. Não há indeterminação na forma porque o numerador é identicamente zero ao longo desse caminho.

Passo 3

Agora o eixo y: isto é, fixo x=0 e faço y\to0. Substituo x=0 em f.
Substituição:
f(0,y)=\frac{3\cdot 0^{2}\cdot y^{2}}{\left(0^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{0}{(y^{2})^{2}}=\frac{0}{y^{4}}.
Para todo y\neq0 isso vale 0. Ao me aproximar de y=0, o valor permanece 0. Portanto o limite ao longo do eixo y é 0.

Passo 4

Agora a reta y=x. Substituo y=x em f e simplifico.
Substituição inicial:
f(x,x)=\frac{3x^{2}\cdot x^{2}}{\left(x^{2}+x^{2}\right)^{2}}=\frac{3x^{4}}{\left(2x^{2}\right)^{2}}.
Calculo o denominador:
\left(2x^{2}\right)^{2}=4x^{4}.
Portanto
f(x,x)=\frac{3x^{4}}{4x^{4}}.
Para x\neq0 posso cancelar x^{4} e obter
f(x,x)=\frac{3}{4}.
Isto mostra que, ao longo da reta y=x (para x pequeno mas não zero), a função é constante igual a \tfrac{3}{4}. Assim, quando x\to0 ao longo dessa reta, o limite é \tfrac{3}{4}.
Explicação didática: mesmo que tanto numerador quanto denominador tendam a zero quando x\to0, aqui após simplificação o valor fica constante e igual a \tfrac{3}{4}, então o limite é esse número.

Passo 5

Comparando os resultados obtidos:
  • ao longo do eixo x: limite 0;
  • ao longo do eixo y: limite 0;
  • ao longo da reta y=x: limite \tfrac{3}{4}.
Como os limites ao longo de diferentes caminhos que chegam ao mesmo ponto (0,0) são diferentes (0 versus \tfrac{3}{4}), a conclusão lógica é que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe.
Breve comentário extra (útil para provas): uma forma sistemática de ver dependência de direção é usar coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Fazendo isso temos
f(r,\theta)=\frac{3r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta}{(r^{2})^{2}}=3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta=\frac{3}{4}\sin^{2}(2\theta),
que depende de \theta (ou seja, depende da direção de aproximação), mostrando imediatamente que o limite geral quando r\to0 depende da direção e portanto não existe.

Resposta

i) 0
ii) 0
iii) \tfrac{3}{4}
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.

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