Nos problemas a seguir, calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em i, ii e iii determinando, se existir, \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).
f(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{3}+y^{3}}
i- \quad Ao longo do eixo x;
ii- Ao longo do eixo y;
iii- Ao longo da reta y=x;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. A função é f(x,y)=\frac{x\,y^{2}}{x^{3}+y^{3}}.
O enunciado pede:
  • i) calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo do eixo x (ou seja, pela reta y=0);
  • ii) calcular o limite ao longo do eixo y (ou seja, pela reta x=0);
  • iii) calcular o limite ao longo da reta y=x.
    Também é pedido determinar, se existir, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) (o valor comum para todas as trajetórias, se existir).

Passo 2

Explicando a ideia que vou usar (passo-a-passo e sem pular etapas).
Quando se pede o limite ao longo de um caminho específico (por exemplo y=0 ou y=x), a técnica padrão é substituir a equação do caminho na expressão de f e então calcular o limite univariado resultante quando a variável tende a zero. Se, para dois caminhos diferentes, os limites forem diferentes, então o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, porque existir exigiria o mesmo valor para qualquer caminho de aproximação. Atenção: ao fazer a substituição, devo evitar pontos onde o denominador fique zero; aqui x^{3}+y^{3}=0 somente em (0,0) ao considerar os caminhos pedidos, então nas substituições para x\neq0 ou y\neq0 a expressão é bem definida.

Passo 3

Cálculo do limite ao longo do eixo x (reta y=0).
Substituo y=0 em f(x,y):
f(x,0)=\frac{x\cdot 0^{2}}{x^{3}+0^{3}}=\frac{0}{x^{3}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Portanto, ao me aproximar de (0,0) pela reta y=0 (isto é, x\to0 com y=0),
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=0} f(x,y)=0.

Passo 4

Cálculo do limite ao longo do eixo y (reta x=0).
Substituo x=0 em f(x,y):
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{2}}{0^{3}+y^{3}}=\frac{0}{y^{3}}=0\quad\text{para }y\neq0.
Logo, ao me aproximar de (0,0) pela reta x=0 (isto é, y\to0 com x=0),
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x=0} f(x,y)=0.

Passo 5

Cálculo do limite ao longo da reta y=x.
Substituo y=x em f(x,y):
f(x,x)=\frac{x\cdot x^{2}}{x^{3}+x^{3}}=\frac{x^{3}}{2x^{3}}=\frac{1}{2}\quad\text{para }x\neq0.
Portanto, ao me aproximar de (0,0) pela reta y=x (isto é, x\to0 com y=x),
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=x} f(x,y)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação e conclusão final sobre existência do limite total.
Encontramos limites diferentes em caminhos distintos:
  • ao longo do eixo x o limite é 0;
  • ao longo do eixo y o limite é 0;
  • ao longo de y=x o limite é \tfrac{1}{2}.
Como há pelo menos dois caminhos com limites diferentes (por exemplo, y=0 0 e y=x \tfrac{1}{2}), o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
Como observação adicional (didática): se se quiser ver mais claramente a dependência do caminho, usar a família de retas y=mx
f(x,mx)=\frac{x\cdot(m x)^{2}}{x^{3}+(m x)^{3}}=\frac{m^{2}x^{3}}{(1+m^{3})x^{3}}=\frac{m^{2}}{1+m^{3}}\quad\text{para }x\neq0,
mostrando que o limite depende do parâmetro m (por exemplo m=0\Rightarrow0, m=1\Rightarrow\tfrac{1}{2}), o que confirma que não há um único valor limite.

Resposta

i) \;0
ii) \;0
iii) \;\dfrac{1}{2}
O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.

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