Nos problemas a seguir, calcule o limite de
quando
tende a
ao longo de cada um dos caminhos indicados em i, ii e iii determinando, se existir,
.
i-
Ao longo do eixo
;
ii- Ao longo do eixo
;
iii- Ao longo da reta
;
i-
ii- Ao longo do eixo
iii- Ao longo da reta
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. A função é
O enunciado pede:
- i) calcular o limite de
quando ao longo do eixo (ou seja, pela reta ); - ii) calcular o limite ao longo do eixo
(ou seja, pela reta ); - iii) calcular o limite ao longo da reta
.
Também é pedido determinar, se existir, o limite(o valor comum para todas as trajetórias, se existir).
Passo 2
Explicando a ideia que vou usar (passo-a-passo e sem pular etapas).
Quando se pede o limite ao longo de um caminho específico (por exemplo ou
), a técnica padrão é substituir a equação do caminho na expressão de
e então calcular o limite univariado resultante quando a variável tende a zero. Se, para dois caminhos diferentes, os limites forem diferentes, então o limite total
não existe, porque existir exigiria o mesmo valor para qualquer caminho de aproximação. Atenção: ao fazer a substituição, devo evitar pontos onde o denominador fique zero; aqui
somente em
ao considerar os caminhos pedidos, então nas substituições para
ou
a expressão é bem definida.
Quando se pede o limite ao longo de um caminho específico (por exemplo
Passo 3
Cálculo do limite ao longo do eixo
(reta
).
Substituo em
:
Substituo
Portanto, ao me aproximar de
pela reta
(isto é,
com
),
Passo 4
Cálculo do limite ao longo do eixo
(reta
).
Substituo em
:
Substituo
Logo, ao me aproximar de
pela reta
(isto é,
com
),
Passo 5
Cálculo do limite ao longo da reta
.
Substituo em
:
Substituo
Portanto, ao me aproximar de
pela reta
(isto é,
com
),
Passo 6
Interpretação e conclusão final sobre existência do limite total.
Encontramos limites diferentes em caminhos distintos:
Encontramos limites diferentes em caminhos distintos:
- ao longo do eixo
o limite é ; - ao longo do eixo
o limite é ; - ao longo de
o limite é .
Como há pelo menos dois caminhos com limites diferentes (por exemplo,
dá
e
dá
), o limite total
não existe.
Como observação adicional (didática): se se quiser ver mais claramente a dependência do caminho, usar a família de retas
dá
mostrando que o limite depende do parâmetro
(por exemplo
,
), o que confirma que não há um único valor limite.
Resposta
i)
ii)
iii)
O limite não existe.
ii)
iii)
O limite