Verifique que a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema especificado e encontre o valor de c que satisfaz a conclusão do teorema.
f(x)=x^{3}-x^{2}, no intervalo 0,2, Teorema do Valor Médio

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x) = x^3 - x^2
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [0,2] e, em seguida, encontrar o ponto c\in(0,2) tal que
f'\text{(c)} = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.
Para isso vamos usar que polinômios são contínuos e diferenciáveis em \mathbb{R} e depois calcular a razão de variação média e igualá-la à derivada.

Passo 2

Verificação das hipóteses do Teorema do Valor Médio:
f é polinômio, logo contínua em [0,2].
f é polinômio, logo diferenciável em (0,2).
Portanto, as hipóteses estão satisfeitas.

Passo 3

Calcular a razão de variação média em [0,2]:
\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{\bigl(2^3-2^2\bigr) - \bigl(0^3-0^2\bigr)}{2} = \frac{4 - 0}{2} = 2.

Passo 4

Derivar f e impor f'\text{(c)}=2:
f'(x) = 3x^2 - 2x,
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3c^2 - 2c = 2.

Passo 5

Resolver a equação quadrática
3c^2 - 2c - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
c = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot3\cdot(-2)}}{2\cdot3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}.

Passo 6

Dos dois valores \frac{1+\sqrt{7}}{3} e \frac{1-\sqrt{7}}{3}, somente \frac{1+\sqrt{7}}{3}\approx1,215
pertence ao intervalo (0,2).

Resposta

c = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}.

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