Verifique que a função y_{1} dada a seguir é uma solução particular da EDO e utilize a re para encontrar a solução geral: x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\left(x^{2}+2\right) y=0, y_{1}=x \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-2x y'+\bigl(x^{2}+2\bigr)y=0
e uma função candidata y_{1}=x\sin x. O que pede:
  • Verificar que y_{1}=x\sin x é de fato uma solução da equação (ou seja, substituir e mostrar que a equação se anula).
  • Usar o método da redução de ordem (re) para obter a solução geral da EDO a partir de y_{1}.
Informações relevantes: é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficiente de y'' igual a x^{2}. Trabalharei no domínio onde x\neq 0 (pois dividiremos por x^{2}).

Passo 2

Verificação direta de que y_{1}=x\sin x satisfaz a EDO.
Calcular as derivadas:
y_{1}=x\sin x, \qquad y_{1}'=\sin x + x\cos x, \qquad y_{1}''=2\cos x - x\sin x.
Substituir na equação x^{2}y''-2x y'+(x^{2}+2)y:
\begin{aligned} x^{2}y_{1}''-2x y_{1}'+(x^{2}+2)y_{1} &=x^{2}\bigl(2\cos x - x\sin x\bigr)-2x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)+(x^{2}+2)\bigl(x\sin x\bigr)\\[6pt] &=2x^{2}\cos x - x^{3}\sin x -2x\sin x -2x^{2}\cos x + x^{3}\sin x +2x\sin x. \end{aligned}
Agora agrupar termos iguais: os termos em x^{3}\sin x se cancelam, os 2x^{2}\cos x também, e os -2x\sin x com +2x\sin x também. Resta 0. Logo
x^{2}y_{1}''-2x y_{1}'+(x^{2}+2)y_{1}=0,
portanto y_{1}=x\sin x é de fato uma solução.]

Passo 3

Colocar a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (dividindo por x^{2}, válido para x\neq 0):
y''-\frac{2}{x}y'+\Bigl(1+\frac{2}{x^{2}}\Bigr)y=0.
Daí obtemos
P(x)=-\frac{2}{x}.
Vou usar a técnica de redução de ordem. A ideia: conhecendo uma solução y_{1}, procuramos uma segunda solução independente da forma y_{2}=v(x)\,y_{1}(x). Substituindo e escolhendo uma condição conveniente obtém-se uma equação de primeira ordem para v', que pode ser integrada explicitamente. A fórmula resultado (que vamos derivar de forma curta) é
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Abaixo mostro rapidamente de onde vem essa fórmula (passos essenciais):
  • Tomar y=v\,y_{1}. Então y' = v' y_{1} + v y_{1}' e y''=v''y_{1}+2v'y_{1}'+v y_{1}''.
  • Substituir na equação padrão; como y_{1} satisfaz a EDO, os termos com v somam zero, sobrando
v''y_{1}+v'(2y_{1}'+P y_{1})=0.
  • Colocar w=v'. A equação vira w' y_{1}+w(2y_{1}'+P y_{1})=0, que é linear de primeira ordem para w. Reescrevendo:
\frac{w'}{w}= -\frac{2y_{1}'+P y_{1}}{y_{1}}.
  • Integrando, obtém-se
w=C\,y_{1}^{-2}e^{-\int P\,dx}.
  • Então v=\int w\,dx e por fim
y_{2}=y_{1}\int y_{1}^{-2}e^{-\int P\,dx}\,dx,
que é a fórmula citada.

Passo 4

Aplicar a fórmula com nossos P e y_{1}.
Calcular primeiro e^{-\int P(x)\,dx}. Como P(x)=-\dfrac{2}{x},
\int P(x)\,dx=\int -\frac{2}{x}\,dx=-2\ln|x|,\qquad e^{-\int P(x)\,dx}=e^{2\ln|x|}=x^{2}
(assumindo x\neq 0; o resultado usa |x| mas podemos trabalhar com x>0 ou x<0 separadamente).
Agora usar y_{1}=x\sin x, então
y_{1}^{2}=x^{2}\sin^{2}x.
A integral da fórmula fica
\int \frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}\,dx=\int \frac{x^{2}}{x^{2}\sin^{2}x}\,dx=\int \csc^{2}x\,dx.
Sabemos que \displaystyle \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C. Portanto, escolhemos a primitiva sem a constante (a constante será absorvida na combinação linear final) e obtemos
y_{2}=y_{1}\bigl(-\cot x\bigr)=x\sin x\cdot(-\cot x)=-x\cos x.
Uma constante multiplicativa não altera a independência linear, então podemos tomar como segunda solução independente a forma mais simples
y_{2}=x\cos x.

Passo 5

Verificação rápida de independência linear (opcional, mas bom para garantir que y_{1} e y_{2} formam base):
Calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
y_{1}=x\sin x,\qquad y_{2}=x\cos x,
y_{1}'=\sin x + x\cos x,\qquad y_{2}'=\cos x - x\sin x.
Então
W=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix} = x\sin x\bigl(\cos x - x\sin x\bigr)-x\cos x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)=-x^{2}.
Como W não é zero para x\neq 0, as soluções são linearmente independentes no domínio considerado.]

Passo 6

Construir a solução geral: combinação linear das duas soluções independentes:
y(x)=C_{1}\,x\sin x + C_{2}\,x\cos x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais).

Resposta

y_{1}=x\sin x é solução da EDO.
A solução geral é \;y(x)=C_{1}\,x\sin x + C_{2}\,x\cos x.

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