Verifique que a função y_{1} dada a seguir é uma solução particular da EDO e utilize a re para encontrar a solução geral: x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\left(x^{2}+2\right) y=0, y_{1}=x \operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-2x y'+\bigl(x^{2}+2\bigr)y=0
e uma função candidata y_{1}=x\sin x. O que pede:
Verificar que y_{1}=x\sin x é de fato uma solução da equação (ou seja, substituir e mostrar que a equação se anula).
Usar o método da redução de ordem (re) para obter a solução geral da EDO a partir de y_{1}.
Informações relevantes: é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficiente de y'' igual a x^{2}. Trabalharei no domínio onde x\neq 0 (pois dividiremos por x^{2}).
Passo 2
Verificação direta de que y_{1}=x\sin x satisfaz a EDO.
Calcular as derivadas:
y_{1}=x\sin x, \qquad y_{1}'=\sin x + x\cos x, \qquad y_{1}''=2\cos x - x\sin x.
Substituir na equação x^{2}y''-2x y'+(x^{2}+2)y:
\begin{aligned} x^{2}y_{1}''-2x y_{1}'+(x^{2}+2)y_{1} &=x^{2}\bigl(2\cos x - x\sin x\bigr)-2x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)+(x^{2}+2)\bigl(x\sin x\bigr)\\[6pt] &=2x^{2}\cos x - x^{3}\sin x -2x\sin x -2x^{2}\cos x + x^{3}\sin x +2x\sin x. \end{aligned}
Agora agrupar termos iguais: os termos em x^{3}\sin x se cancelam, os 2x^{2}\cos x também, e os -2x\sin x com +2x\sin x também. Resta 0. Logo
x^{2}y_{1}''-2x y_{1}'+(x^{2}+2)y_{1}=0,
portanto y_{1}=x\sin x é de fato uma solução.]
Passo 3
Colocar a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (dividindo por x^{2}, válido para x\neq 0):
Vou usar a técnica de redução de ordem. A ideia: conhecendo uma solução y_{1}, procuramos uma segunda solução independente da forma y_{2}=v(x)\,y_{1}(x). Substituindo e escolhendo uma condição conveniente obtém-se uma equação de primeira ordem para v', que pode ser integrada explicitamente. A fórmula resultado (que vamos derivar de forma curta) é
Sabemos que \displaystyle \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C. Portanto, escolhemos a primitiva sem a constante (a constante será absorvida na combinação linear final) e obtemos