Resolva o problema:
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- É fornecida a equação diferencial
com as condições iniciais
- O que o problema pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Identificar a parte homogênea e resolvê-la. A equação homogênea associada é
Uma técnica padrão para equações com coeficientes que são potências de
é procurar soluções do tipo
, onde
é um número a determinar. Vou explicar por quê: se
então
e
; ao substituir, todos os termos ficam proporcionais a
e podemos obter uma equação algébrica para
.
Substituindo
na homogênea:
Simplificando os fatores
(não nulos para
):
Passo 3
Resolver a equação característica em
:
Esta é uma quadrática; calcular as raízes:
Logo as raízes são
e
.
Como obtivemos duas raízes reais distintas, as duas soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora encontramos uma solução particular da equação completa
Observação didática: o lado direito é um monômio
. Para equações do tipo Euler-Cauchy, uma boa tentativa é procurar um particular também como um monômio
com o mesmo expoente
, desde que
não coincida com as raízes da equação característica (caso coincidisse, precisaríamos multiplicar por um fator
etc.). Aqui
NÃO é nem
nem
, então tentar
é apropriado.
Tomando
, calcule as derivadas:
Substituir na equação:
Queremos que isso seja igual a
, logo
Portanto uma solução particular é
Passo 5
Escrever a solução geral da equação completa somando homogênea e particular:
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Aplicar a condição
. Primeiro avaliar
:
A condição
dá a equação
Passo 7
Aplicar a condição
. Primeiro calcular
. Diferenciando termo a termo (regra da potência:
):
Simplificando os coeficientes:
Avaliar em
:
A condição
fornece:
Passo 8
Resolver o sistema linear para
Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (C_{1}]:
Logo
Substituir em
:
Portanto
e
.]
Passo 9
Resumo e verificação rápida (numérica) das condições: com esses
tem-se
e
. As contas fecham, logo os valores estão corretos.