Resolva o problema: x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=x^{3}, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=1

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • É fornecida a equação diferencial
x^{2}y''+3x y'-3y=x^{3},
com as condições iniciais
y(1)=0,\qquad y'(1)=1.
  • O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Identificar a parte homogênea e resolvê-la. A equação homogênea associada é
x^{2}y''+3x y'-3y=0.
Uma técnica padrão para equações com coeficientes que são potências de x é procurar soluções do tipo y=x^{m}, onde m é um número a determinar. Vou explicar por quê: se y=x^{m} então y'=m x^{m-1} e y''=m(m-1)x^{m-2}; ao substituir, todos os termos ficam proporcionais a x^{m} e podemos obter uma equação algébrica para m.
Substituindo y=x^{m} na homogênea:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+3x\big(m x^{m-1}\big)-3x^{m}=0.
Simplificando os fatores x^{m} (não nulos para x\neq0):
m(m-1)+3m-3=0.

Passo 3

Resolver a equação característica em m:
m(m-1)+3m-3=0 \quad\Rightarrow\quad m^{2}-m+3m-3=0 \quad\Rightarrow\quad m^{2}+2m-3=0.
Esta é uma quadrática; calcular as raízes:
m=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Logo as raízes são m_{1}=1 e m_{2}=-3.
Como obtivemos duas raízes reais distintas, as duas soluções independentes da homogênea são x^{1} e x^{-3}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x + C_{2}x^{-3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora encontramos uma solução particular da equação completa
x^{2}y''+3x y'-3y=x^{3}.
Observação didática: o lado direito é um monômio x^{3}. Para equações do tipo Euler-Cauchy, uma boa tentativa é procurar um particular também como um monômio y_{p}=A x^{k} com o mesmo expoente k=3, desde que k não coincida com as raízes da equação característica (caso coincidisse, precisaríamos multiplicar por um fator \ln x etc.). Aqui k=3 NÃO é nem 1 nem -3, então tentar y_{p}=A x^{3} é apropriado.
Tomando y_{p}=A x^{3}, calcule as derivadas:
y_{p}'=3A x^{2},\qquad y_{p}''=6A x.
Substituir na equação:
x^{2}(6A x)+3x(3A x^{2})-3(A x^{3}) = (6A x^{3})+(9A x^{3})-(3A x^{3})=(12A)x^{3}.
Queremos que isso seja igual a x^{3}, logo
12A x^{3}=x^{3}\quad\Rightarrow\quad 12A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{12}.
Portanto uma solução particular é
y_{p}=\frac{1}{12}x^{3}.

Passo 5

Escrever a solução geral da equação completa somando homogênea e particular:
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-3} + \frac{1}{12}x^{3}.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 6

Aplicar a condição y(1)=0. Primeiro avaliar y(1):
y(1)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 1^{-3} + \frac{1}{12}\cdot 1^{3}=C_{1}+C_{2}+\frac{1}{12}.
A condição y(1)=0 dá a equação
C_{1}+C_{2}+\frac{1}{12}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=-\frac{1}{12}.

Passo 7

Aplicar a condição y'(1)=1. Primeiro calcular y'(x). Diferenciando termo a termo (regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
y'(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot(-3)x^{-4} + \frac{1}{12}\cdot 3 x^{2}.
Simplificando os coeficientes:
y'(x)=C_{1}-3C_{2}x^{-4}+\frac{1}{4}x^{2}.
Avaliar em x=1:
y'(1)=C_{1}-3C_{2}+\frac{1}{4}.
A condição y'(1)=1 fornece:
C_{1}-3C_{2}+\frac{1}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}-3C_{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 8

Resolver o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-\dfrac{1}{12},\\[6pt] C_{1}-3C_{2}=\dfrac{3}{4}. \end{cases}
Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (C_{1}]:
(C_{1}-3C_{2})-(C_{1}+C_{2})=\dfrac{3}{4}-\Big(-\dfrac{1}{12}\Big)
-4C_{2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}.
Logo
C_{2}=-\frac{5}{24}.
Substituir em C_{1}+C_{2}=-\dfrac{1}{12}:
C_{1} = -\frac{1}{12} - C_{2} = -\frac{1}{12} -\Big(-\frac{5}{24}\Big)= -\frac{1}{12}+\frac{5}{24} = -\frac{2}{24}+\frac{5}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}.
Portanto C_{1}=\dfrac{1}{8} e C_{2}=-\dfrac{5}{24}.]

Passo 9

Resumo e verificação rápida (numérica) das condições: com esses C_{1},C_{2} tem-se y(1)=\dfrac{1}{8}-\dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{12} = 0 e y'(1)=\dfrac{1}{8}-3\cdot\big(-\dfrac{5}{24}\big)+\dfrac{1}{4}=1. As contas fecham, logo os valores estão corretos.

Resposta

y(x)=\frac{1}{8}x-\frac{5}{24}x^{-3}+\frac{1}{12}x^{3}

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