Use o método dos coeficientes a determinar para resolver o problema abaixo:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=x+\operatorname{sen} x, \quad y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com condições iniciais. Dados e pedidos:
  • Equação: y''+2y'-3y = x+\sin x.
  • Condições iniciais: y(0)=3,\qquad y'(0)=5.
O objetivo final é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y_h''+2y_h'-3y_h = 0.
Assumimos solução do tipo y_h=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+2r-3=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo os raízes são r_1=1 e r_2=-3. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia é propor formas para cada parte do membro direito \,x+\sin x:
  • Para o termo polinomial \,x (grau 1) propomos uma particular polinomial do mesmo grau:
y_{p1}(x)=A x+B,
com A,B a determinar.
  • Para o termo trigonométrico \sin x propomos uma combinação de \cos x e \sin x:
y_{p2}(x)=C\cos x + D\sin x,
com C,D a determinar.
Como nenhuma destas escolhas coincide com soluções da homogênea (as raízes da característica não são \pm i nem zero), não há necessidade de multiplicar por potências de x. Portanto tomamos
y_p(x)=A x+B+C\cos x + D\sin x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p para substituir na equação:
Derivadas do polinômio:
\frac{d}{dx}(Ax+B)=A,\qquad \frac{d^2}{dx^2}(Ax+B)=0.
Derivadas da parte trigonométrica:
\frac{d}{dx}\big(C\cos x + D\sin x\big) = -C\sin x + D\cos x,
\frac{d^2}{dx^2}\big(C\cos x + D\sin x\big) = -C\cos x - D\sin x.
Somando as partes:
y_p' = A - C\sin x + D\cos x,
y_p'' = 0 - C\cos x - D\sin x = -C\cos x - D\sin x.

Passo 5

Substituímos y_p, y_p', y_p'' na equação diferencial à esquerda \,y''+2y'-3y e igualamos ao lado direito \,x+\sin x.
Compute o operador linear aplicado a y_p:
y_p''+2y_p'-3y_p = (-C\cos x - D\sin x) + 2\big(A - C\sin x + D\cos x\big) -3\big(Ax+B + C\cos x + D\sin x\big).
Separando termos polinomiais (em x e constante) e trigonométricos (coeficientes de \cos x e \sin x):
  • Termos polinomiais:
\text{coeficiente de }x:\quad -3A.
\text{termo constante: } 2A -3B.
Logo da parte polinomial obtemos -3A\cdot x + (2A-3B).
  • Termos em \cos x e \sin x:
    Coeficiente de \cos x:
(-C) + 2D -3C = -4C + 2D.
Coeficiente de \sin x:
(-D) -2C -3D = -2C -4D.
Portanto a expressão total é
y_p''+2y_p'-3y_p = \big(-3A\big)x + (2A-3B) + \big(-4C+2D\big)\cos x + \big(-2C-4D\big)\sin x.
Isso deve ser igual ao lado direito \,x+\sin x = 1\cdot x + 0\cdot 1 + 0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x.
Assim obtemos o sistema de equações para os coeficientes, igualando coeficientes de termos independentes:
  • Para x: -3A = 1.
  • Para constante: 2A -3B = 0.
  • Para \cos x: -4C + 2D = 0.
  • Para \sin x: -2C -4D = 1.

Passo 6

Resolva o sistema obtido:
Da primeira equação:
-3A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{3}.
Usando A\) na segunda: \[2\Big(-\frac{1}{3}\Big)-3B=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{2}{3}-3B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{2}{9}.
Agora o sistema trigonométrico:
\begin{cases} -4C+2D=0,\\[4pt] -2C-4D=1. \end{cases}
Dividindo a primeira por 2\]: \(-2C + D = 0\Rightarrow D=2C.
Substituindo na segunda:
-2C -4(2C) = 1 \quad\Rightarrow\quad -2C -8C =1 \quad\Rightarrow\quad -10C =1,
logo
C=-\frac{1}{10},\qquad D=2C = -\frac{1}{5}.
Logo a solução particular é
y_p(x)=-\frac{1}{3}x -\frac{2}{9} -\frac{1}{10}\cos x -\frac{1}{5}\sin x.]

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-3x} -\frac{1}{3}x -\frac{2}{9} -\frac{1}{10}\cos x -\frac{1}{5}\sin x.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar [C_1) e C_2.
Calcule y(0):
y(0)=C_1 + C_2 -\frac{2}{9} -\frac{1}{10}\cdot\cos 0 -\frac{1}{5}\cdot\sin 0 -\frac{1}{3}\cdot 0.
Como \cos 0=1 e \sin 0=0, temos
y(0)=C_1+C_2 -\frac{2}{9} -\frac{1}{10}.
Somando as frações:
-\frac{2}{9}-\frac{1}{10} = -\frac{20+9}{90} = -\frac{29}{90}.
Pela condição y(0)=3:
C_1 + C_2 -\frac{29}{90} = 3 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 3 + \frac{29}{90} = \frac{299}{90}.
Calcule y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x)=C_1 e^{x} -3C_2 e^{-3x} -\frac{1}{3} + \frac{1}{10}\sin x -\frac{1}{5}\cos x,
pois derivada de -\tfrac{1}{10}\cos x é \tfrac{1}{10}\sin x e derivada de -\tfrac{1}{5}\sin x é -\tfrac{1}{5}\cos x.
Avalie em x=0:
y'(0)=C_1 -3C_2 -\frac{1}{3} + \frac{1}{10}\cdot 0 -\frac{1}{5}\cdot 1 = C_1 -3C_2 -\frac{1}{3} -\frac{1}{5}.
Some as frações:
-\frac{1}{3}-\frac{1}{5} = -\frac{5+3}{15} = -\frac{8}{15}.
Pela condição y'(0)=5:
C_1 -3C_2 -\frac{8}{15} = 5 \quad\Rightarrow\quad C_1 -3C_2 = 5 + \frac{8}{15} = \frac{83}{15}.
Agora resolvemos o sistema para C_1,C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \dfrac{299}{90},\\[6pt] C_1 -3C_2 = \dfrac{83}{15}. \end{cases}
Colocando ambos com denominador 90\]: \(\dfrac{83}{15}=\dfrac{498}{90}. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_1 -3C_2) - (C_1 + C_2) = \frac{498}{90} - \frac{299}{90}
-4C_2 = \frac{199}{90} \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\frac{199}{360}.
Substituindo em C_1 + C_2 = \dfrac{299}{90}:
C_1 = \frac{299}{90} - C_2 = \frac{299}{90} + \frac{199}{360} = \frac{1196+199}{360} = \frac{1395}{360}.
Simplificando \dfrac{1395}{360}=\dfrac{31}{8}. Portanto
C_1=\frac{31}{8},\qquad C_2=-\frac{199}{360}.]

Passo 8

Finalmente, escrevemos a solução y(x) com os valores encontrados:
y(x)=\frac{31}{8}e^{x}-\frac{199}{360}e^{-3x}-\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}-\frac{1}{10}\cos x -\frac{1}{5}\sin x.

Resposta

y(x)=\frac{31}{8}e^{x}-\frac{199}{360}e^{-3x}-\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}-\frac{1}{10}\cos x-\frac{1}{5}\sin x

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