O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com condições iniciais. Dados e pedidos:
Equação: y''+2y'-3y = x+\sin x.
Condições iniciais: y(0)=3,\qquad y'(0)=5.
O objetivo final é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y_h''+2y_h'-3y_h = 0.
Assumimos solução do tipo y_h=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+2r-3=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo os raízes são r_1=1 e r_2=-3. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_p da equação não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. A ideia é propor formas para cada parte do membro direito \,x+\sin x:
Para o termo polinomial \,x (grau 1) propomos uma particular polinomial do mesmo grau:
y_{p1}(x)=A x+B,
com A,B a determinar.
Para o termo trigonométrico \sin x propomos uma combinação de \cos x e \sin x:
y_{p2}(x)=C\cos x + D\sin x,
com C,D a determinar.
Como nenhuma destas escolhas coincide com soluções da homogênea (as raízes da característica não são \pm i nem zero), não há necessidade de multiplicar por potências de x. Portanto tomamos
y_p(x)=A x+B+C\cos x + D\sin x.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p para substituir na equação: