Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui c denota uma constante real.
y(x)=e^{x}[\ln x+c], x\left(y^{\prime}-y\right)-e^{x}=0 ;

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a função y(x)=e^{x}[\ln x+c] (onde c é uma constante real) é uma solução da equação diferencial
x\bigl(y'-y\bigr)-e^{x}=0.
Informações relevantes dadas:
  • A função candidata é y(x)=e^{x}[\ln x+c].
  • A equação a ser satisfeita é x(y'-y)-e^{x}=0.
  • Implicação de domínio: como aparece \ln x, a função está definida apenas para x>0. Portanto a verificação vale para x>0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada y'(x). Para isso usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\bigl(u\cdot v\bigr)'=u'\,v+u\,v'.
Aqui escolhemos u(x)=e^{x} e v(x)=\ln x + c. Seus derivados são u'(x)=e^{x} (porque a derivada de e^{x} é e^{x}) e v'(x)=\dfrac{1}{x} (porque a derivada de \ln x é 1/x e de c é 0). Aplicando a regra do produto:
y' = (e^{x})'(\ln x+c) + e^{x}\left(\frac{1}{x}\right).
Substituindo (e^{x})'=e^{x} obtemos
y' = e^{x}(\ln x + c) + e^{x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 3

Observe que a expressão e^{x}(\ln x + c) é exatamente y. Então podemos escrever
y' = y + e^{x}\cdot\frac{1}{x}.
Agora subtraímos y dos dois lados para obter y'-y:
y'-y = e^{x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicamos a expressão anterior por x (como aparece na equação diferencial):
x\bigl(y'-y\bigr) = x\cdot\left(e^{x}\cdot\frac{1}{x}\right).
No lado direito o x cancela com 1/x, então
x\bigl(y'-y\bigr) = e^{x}.

Passo 5

Agora substituímos na equação dada x(y'-y)-e^{x}=0. Pelo passo anterior o primeiro termo vale e^{x}, então
x\bigl(y'-y\bigr)-e^{x} = e^{x}-e^{x} = 0.
Portanto a igualdade é satisfeita identicamente para todo x>0.

Passo 6

Conclusão e dica prática: ao verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, o método padrão é calcular a(s) derivada(s) necessárias, substituir na equação e simplificar. Aqui a simplificação mostra que a expressão deixa-se reduzir a 0, logo a função proposta satisfaz a equação diferencial no domínio onde está definida ( x>0). Um exemplo simples semelhante: para verificar y=C e^{x} na equação y'-y=0, calcula-se y'=C e^{x} e vê-se que y'-y=0.

Resposta

Sim. Substituindo na equação obtém-se x(y'-y)-e^{x}=0, logo y(x)=e^{x}[\ln x+c] é solução para x>0.

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