Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui
denota uma constante real.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a função
(onde
é uma constante real) é uma solução da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A função candidata é
. - A equação a ser satisfeita é
. - Implicação de domínio: como aparece
, a função está definida apenas para . Portanto a verificação vale para .
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Para isso usamos a regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui escolhemos
e
. Seus derivados são
(porque a derivada de
é
) e
(porque a derivada de
é
e de
é
). Aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtemos
Passo 3
Observe que a expressão
é exatamente
. Então podemos escrever
Agora subtraímos
dos dois lados para obter
:
Passo 4
Multiplicamos a expressão anterior por
(como aparece na equação diferencial):
No lado direito o
cancela com
, então
Passo 5
Agora substituímos na equação dada
. Pelo passo anterior o primeiro termo vale
, então
Portanto a igualdade é satisfeita identicamente para todo
.
Passo 6
Conclusão e dica prática: ao verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, o método padrão é calcular a(s) derivada(s) necessárias, substituir na equação e simplificar. Aqui a simplificação mostra que a expressão deixa-se reduzir a
, logo a função proposta satisfaz a equação diferencial no domínio onde está definida (
). Um exemplo simples semelhante: para verificar
na equação
, calcula-se
e vê-se que
.
Resposta
Sim. Substituindo na equação obtém-se
, logo
é solução para
.