Exercício 10 Esboce o gráfico da função F(x)=\int_{2}^{x} f(t) d t\) quando \(f\) é uma das funções a seguir ( \([[x]]\) é parte inteira de \(x\) )
\(f(x)= \begin{cases}x & x \leq 5, \\\\ 0 & x \in(5,6], \\\\ -3 & x>6\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
\begin{aligned} &\text{1) }f(t)=t\text{ para }t\le 5.\\\ &\text{2) }f(t)=0\text{ para }t\in(5,6].\\\ &\text{3) }f(t)=-3\text{ para }t>6.\\\ &\text{4) A integral começa em }2,\text{ logo }F(2)=0. \end{aligned}ç]
Passo 2
Vou usar uma propriedade fundamental da integral: se
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então, quando f é contínua em x, vale
F'(x)=f(x).
Isto diz que F tem derivada igual a f nos pontos onde f é contínua; quando f tem salto, F continua sendo contínua (integral de função limitada) mas pode não ser diferenciável naquele ponto. Também anoto que F(2)=\int_2^2 f=0.
Passo 3
Calculo F(x) para a região onde f(t)=t (ou seja, para qualquer x tal que a integral envolva valores de t\le 5). A primitiva de t é \tfrac{1}{2}t^2, então
Isto é uma reta de inclinação -3 passando por (6,\tfrac{21}{2}). Alguns pontos: F(7)=-3\cdot7+\tfrac{57}{2}=\tfrac{15}{2}, F(8)=\tfrac{9}{2}, e para x\to\infty a função tende a -\infty.]
Passo 7
Análise de continuidade e derivabilidade (útil para o esboço).
\begin{aligned} &\text{Continuidade: }F\text{ é contínua em todo }\mathbb{R}\text{ (integral de função limitada).}\\[4pt] &\text{Derivabilidade: }F'(x)=f(x)\text{ nos pontos onde }f\text{ é contínua.}\\\ &\text{Em }x=5\text{ há salto de }f: f(5^-)=5,\;f(5^+)=0\Rightarrow F'\text{ tem salto (não diferenciável em }5).\\[4pt] &\text{Em }x=6\text{ há salto de }f: f(6^-)=0,\;f(6^+)=-3\Rightarrow F'\text{ tem salto (não diferenciável em }6). \end{aligned}éíçãéíáãááãá]
Passo 8
Instruções para esboçar (resumo visual):
\begin{aligned} &\text{1) Para }x\le 5\text{ desenhe a parábola }F(x)=\tfrac{1}{2}(x^{2}-4).\\\ &\text{2) Entre }x=5\text{ e }x=6\text{ desenhe um segmento horizontal em }y=\tfrac{21}{2}.\\\ &\text{3) Para }x>6\text{ desenhe a reta }F(x)=-3x+\tfrac{57}{2}\text{, que começa em }(6,\tfrac{21}{2})\text{ e decresce.}\\\ &\text{Marque os pontos }(2,0),(5,\tfrac{21}{2}),(6,\tfrac{21}{2})\text{ e as tangentes/direções: inclinação }5\text{ à esquerda de }5,\\\ &\quad\text{inclinação }0\text{ em }(5,6)\text{ e inclinação }-3\text{ à direita de }6. \end{aligned}áççõçãàçãçãà