Exercício 10 Esboce o gráfico da função F(x)=\int_{2}^{x} f(t) d t\) quando \(f\) é uma das funções a seguir ( \([[x]]\) é parte inteira de \(x\) ) \(f(x)= \begin{cases}x & x \leq 5, \\\\ 0 & x \in(5,6], \\\\ -3 & x>6\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
F(x)=\int_{2}^{x} f(t)\,dt
onde f é a função por partes
f(x)=\begin{cases} x & x\le 5,\\[4pt] 0 & x\in(5,6],\\[4pt] -3 & x>6. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{1) }f(t)=t\text{ para }t\le 5.\\\ &\text{2) }f(t)=0\text{ para }t\in(5,6].\\\ &\text{3) }f(t)=-3\text{ para }t>6.\\\ &\text{4) A integral começa em }2,\text{ logo }F(2)=0. \end{aligned}ç]

Passo 2

Vou usar uma propriedade fundamental da integral: se
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então, quando f é contínua em x, vale
F'(x)=f(x).
Isto diz que F tem derivada igual a f nos pontos onde f é contínua; quando f tem salto, F continua sendo contínua (integral de função limitada) mas pode não ser diferenciável naquele ponto. Também anoto que F(2)=\int_2^2 f=0.

Passo 3

Calculo F(x) para a região onde f(t)=t (ou seja, para qualquer x tal que a integral envolva valores de t\le 5). A primitiva de t é \tfrac{1}{2}t^2, então
F(x)=\int_{2}^{x} t\,dt = \left.\tfrac{1}{2}t^{2}\right|_{t=2}^{t=x} = \tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 4=\tfrac{1}{2}(x^{2}-4).
Esta fórmula é válida sempre que, ao calcular a integral de 2 até x, o integrando for t na região considerada — em particular vale para todo x\le 5.

Passo 4

Avalio alguns pontos úteis nessa região para orientar o esboço:
\begin{aligned} &F(2)=\tfrac{1}{2}(2^{2}-4)=0,\\[4pt] &F(3)=\tfrac{1}{2}(9-4)=\tfrac{5}{2},\\[4pt] &F(4)=\tfrac{1}{2}(16-4)=6,\\[4pt] &F(5)=\tfrac{1}{2}(25-4)=\tfrac{21}{2}. \end{aligned}
Portanto até x=5 o gráfico é um ramo de parábola \tfrac{1}{2}(x^{2}-4) passando por (2,0),(3,\tfrac{5}{2}),(4,6),(5,\tfrac{21}{2}).]

Passo 5

Para x\in(5,6] temos f(t)=0. Então, para tais x,
F(x)=\int_{2}^{x} f(t)\,dt = \int_{2}^{5} f(t)\,dt + \int_{5}^{x} 0\,dt = F(5) + 0 = \tfrac{21}{2}.
Logo F é constante e horizontal no intervalo (5,6], com valor \tfrac{21}{2}. Em particular F(6)=\tfrac{21}{2}.

Passo 6

Para x>6 temos f(t)=-3. Então, para x>6,
\begin{aligned} F(x)&=\int_{2}^{x} f(t)\,dt = \int_{2}^{6} f(t)\,dt + \int_{6}^{x} (-3)\,dt\\[4pt] &=F(6) -3(x-6). \end{aligned}
Usando F(6)=\tfrac{21}{2} obtemos
F(x)=\tfrac{21}{2} -3(x-6)= -3x + \tfrac{57}{2}\qquad (x>6).
Isto é uma reta de inclinação -3 passando por (6,\tfrac{21}{2}). Alguns pontos: F(7)=-3\cdot7+\tfrac{57}{2}=\tfrac{15}{2}, F(8)=\tfrac{9}{2}, e para x\to\infty a função tende a -\infty.]

Passo 7

Análise de continuidade e derivabilidade (útil para o esboço).
\begin{aligned} &\text{Continuidade: }F\text{ é contínua em todo }\mathbb{R}\text{ (integral de função limitada).}\\[4pt] &\text{Derivabilidade: }F'(x)=f(x)\text{ nos pontos onde }f\text{ é contínua.}\\\ &\text{Em }x=5\text{ há salto de }f: f(5^-)=5,\;f(5^+)=0\Rightarrow F'\text{ tem salto (não diferenciável em }5).\\[4pt] &\text{Em }x=6\text{ há salto de }f: f(6^-)=0,\;f(6^+)=-3\Rightarrow F'\text{ tem salto (não diferenciável em }6). \end{aligned}éíçãéíáãááãá]

Passo 8

Instruções para esboçar (resumo visual):
\begin{aligned} &\text{1) Para }x\le 5\text{ desenhe a parábola }F(x)=\tfrac{1}{2}(x^{2}-4).\\\ &\text{2) Entre }x=5\text{ e }x=6\text{ desenhe um segmento horizontal em }y=\tfrac{21}{2}.\\\ &\text{3) Para }x>6\text{ desenhe a reta }F(x)=-3x+\tfrac{57}{2}\text{, que começa em }(6,\tfrac{21}{2})\text{ e decresce.}\\\ &\text{Marque os pontos }(2,0),(5,\tfrac{21}{2}),(6,\tfrac{21}{2})\text{ e as tangentes/direções: inclinação }5\text{ à esquerda de }5,\\\ &\quad\text{inclinação }0\text{ em }(5,6)\text{ e inclinação }-3\text{ à direita de }6. \end{aligned}áççõçãàçãçãà

Resposta

F(x)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}(x^{2}-4), & x\le 5,\\[6pt] \tfrac{21}{2}, & 5<x\le 6,\\[6pt] -3x+\tfrac{57}{2}, & x>6. \end{cases}
F é contínua em \mathbb{R} e diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{5,6\} (com F'(x)=f(x) onde definido).]

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