Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado dá duas informações que vou listar claramente:
- A equação diferencial é
. - A função (em forma implícita) a ser verificada é
.
O que o enunciado pede: verificar se a função dada (essa relação implícita entre
e
) de fato satisfaz a equação diferencial, isto é, se ao derivar a relação em
obtemos exatamente
.
Informação adicional útil (não pedida, mas importante para domínio): a expressão logarítmica exige que o argumento seja positivo, ou seja
; isso restringe os valores possíveis de
, mas não impede a verificação da solução onde a expressão está bem definida.
Passo 2
Lembrete das regras de derivação que vou usar (aulas rápidas):
- Regra da cadeia para logaritmo: se
é função de , então . - Derivada de uma constante é zero.
- Derivada de
em relação a é , porque é constante e .
Exemplo curto para fixar: se
então
porque
e divide por
.
Passo 3
Agora diferencio implicitamente a relação dada
em relação a
. Primeiro escrevo o logaritmo como diferença:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Aplico a regra da cadeia em cada termo:
Portanto a igualdade da derivada fica
Passo 5
Simplifico o lado esquerdo fato a fato:
Coloco em um único quociente:
Assim
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Isso coincide exatamente com a equação diferencial dada. Logo a relação implícita
satisfaz a equação diferencial (onde o logaritmo está definido).
Observação final pedagógica: a solução geral obtida por separação de variáveis teria uma constante de integração
, dando
. A igualdade fornecida no enunciado corresponde ao caso particular com
.
Resposta
Sim.