Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
\frac{d X}{d t}=(2-X)(1-X) ; \ln \frac{2-X}{1-X}=t

Passo 1

O enunciado dá duas informações que vou listar claramente:
  • A equação diferencial é \dfrac{dX}{dt}=(2-X)(1-X).
  • A função (em forma implícita) a ser verificada é \ln\!\dfrac{2-X}{1-X}=t.
O que o enunciado pede: verificar se a função dada (essa relação implícita entre X e t) de fato satisfaz a equação diferencial, isto é, se ao derivar a relação em t obtemos exatamente \dfrac{dX}{dt}=(2-X)(1-X).
Informação adicional útil (não pedida, mas importante para domínio): a expressão logarítmica exige que o argumento seja positivo, ou seja \dfrac{2-X}{1-X}>0; isso restringe os valores possíveis de X, mas não impede a verificação da solução onde a expressão está bem definida.

Passo 2

Lembrete das regras de derivação que vou usar (aulas rápidas):
  • Regra da cadeia para logaritmo: se u=u(t) é função de t, então \dfrac{d}{dt}\bigl(\ln u(t)\bigr)=\dfrac{u'(t)}{u(t)}.
  • Derivada de uma constante é zero.
  • Derivada de 2-X(t) em relação a t é -\dfrac{dX}{dt}, porque 2 é constante e \dfrac{d}{dt}(-X)=-\dfrac{dX}{dt}.
Exemplo curto para fixar: se u(t)=1+2t então \dfrac{d}{dt}\ln u(t)=\dfrac{2}{1+2t} porque u'(t)=2 e divide por u(t).

Passo 3

Agora diferencio implicitamente a relação dada \ln\!\dfrac{2-X}{1-X}=t em relação a t. Primeiro escrevo o logaritmo como diferença:
\ln\!\dfrac{2-X}{1-X}=\ln(2-X)-\ln(1-X).
Derivando ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln(2-X)\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(\ln(1-X)\bigr)=\frac{d}{dt}(t).

Passo 4

Aplico a regra da cadeia em cada termo:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(\ln(2-X)\bigr)=\dfrac{1}{2-X}\cdot\dfrac{d}{dt}(2-X)=\dfrac{1}{2-X}\cdot\bigl(-\dfrac{dX}{dt}\bigr)=-\dfrac{1}{2-X}\dfrac{dX}{dt}.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(\ln(1-X)\bigr)=\dfrac{1}{1-X}\cdot\dfrac{d}{dt}(1-X)=\dfrac{1}{1-X}\cdot\bigl(-\dfrac{dX}{dt}\bigr)=-\dfrac{1}{1-X}\dfrac{dX}{dt}.
  • \dfrac{d}{dt}(t)=1.
Portanto a igualdade da derivada fica
-\dfrac{1}{2-X}\dfrac{dX}{dt}-\Bigl(-\dfrac{1}{1-X}\dfrac{dX}{dt}\Bigr)=1.

Passo 5

Simplifico o lado esquerdo fato a fato:
-\dfrac{1}{2-X}\dfrac{dX}{dt}+\dfrac{1}{1-X}\dfrac{dX}{dt} =\dfrac{dX}{dt}\Bigl(-\dfrac{1}{2-X}+\dfrac{1}{1-X}\Bigr).
Coloco em um único quociente:
-\dfrac{1}{2-X}+\dfrac{1}{1-X} =\dfrac{-(1-X)+(2-X)}{(2-X)(1-X)} =\dfrac{-1+X+2-X}{(2-X)(1-X)} =\dfrac{1}{(2-X)(1-X)}.
Assim
\frac{dX}{dt}\cdot\frac{1}{(2-X)(1-X)}=1.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (2-X)(1-X) obtém-se
\frac{dX}{dt}=(2-X)(1-X).
Isso coincide exatamente com a equação diferencial dada. Logo a relação implícita \ln\!\dfrac{2-X}{1-X}=t satisfaz a equação diferencial (onde o logaritmo está definido).
Observação final pedagógica: a solução geral obtida por separação de variáveis teria uma constante de integração C, dando \ln\!\dfrac{2-X}{1-X}=t+C. A igualdade fornecida no enunciado corresponde ao caso particular com C=0.

Resposta

Sim. \dfrac{dX}{dt}=(2-X)(1-X)

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