Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial escrita é
. - A função candidata é
, onde e são constantes.
O que devemos verificar: ao calcular
e
a partir da função candidata e substituir na equação, as igualdades pedidas são satisfeitas? Note que a função está definida apenas para
.
Passo 2
Calcular
. Lembrando a regra: a derivada de
é
(isso vem da regra da cadeia). Aqui
e
. Portanto,
Passo 3
Calcular
. Basta elevar ao quadrado a expressão encontrada para
:
Observe que, para todo
no domínio (
),
(nunca é zero).
Passo 4
Calcular
. Podemos reescrever
e aplicar a regra do poder (derivada de
é
) combinada com a derivada da função interna (que é
):
Passo 5
Comparar com a equação dada. Temos explicitamente
Assim
. Para que a igualdade
fosse verdadeira precisaríamos de
o que implica
, impossibilidade para qualquer
do domínio. Além disso, a condição
também não é satisfeita, pois
. Logo a função não satisfaz nem
nem
.
Passo 6
Interpretação prática para a prova: para verificar se uma função é solução, calcule
e
explicitamente e substitua na equação; se der igualdade verdadeira para todo
do domínio, é solução. Aqui o cálculo direto mostrou uma contradição, então a função falha como solução.
Resposta
Não; a função
não é solução da equação dada.