Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2}=0 ; y=\ln \left|x+c_{1}\right|+c_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial escrita é y''=(y')^{2}=0.
  • A função candidata é y=\ln\!\left|x+c_{1}\right|+c_{2}, onde c_{1} e c_{2} são constantes.
O que devemos verificar: ao calcular y' e y'' a partir da função candidata e substituir na equação, as igualdades pedidas são satisfeitas? Note que a função está definida apenas para x\neq -c_{1}.

Passo 2

Calcular y'. Lembrando a regra: a derivada de \ln|u(x)| é \dfrac{u'(x)}{u(x)} (isso vem da regra da cadeia). Aqui u(x)=x+c_{1} e u'(x)=1. Portanto,
y'=\frac{d}{dx}\!\left(\ln\!\left|x+c_{1}\right|+c_{2}\right)=\frac{1}{x+c_{1}}.

Passo 3

Calcular (y')^{2}. Basta elevar ao quadrado a expressão encontrada para y':
(y')^{2}=\left(\frac{1}{x+c_{1}}\right)^{2}=\frac{1}{(x+c_{1})^{2}}.
Observe que, para todo x no domínio ( x\neq -c_{1}), (y')^{2}>0 (nunca é zero).

Passo 4

Calcular y''. Podemos reescrever y'=(x+c_{1})^{-1} e aplicar a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) combinada com a derivada da função interna (que é 1):
y''=\frac{d}{dx}\left((x+c_{1})^{-1}\right)=-1\,(x+c_{1})^{-2}=-\frac{1}{(x+c_{1})^{2}}.

Passo 5

Comparar com a equação dada. Temos explicitamente
(y')^{2}=\frac{1}{(x+c_{1})^{2}}\quad\text{e}\quad y''=-\frac{1}{(x+c_{1})^{2}}.
Assim y''=- (y')^{2}. Para que a igualdade y''=(y')^{2} fosse verdadeira precisaríamos de
-\frac{1}{(x+c_{1})^{2}}=\frac{1}{(x+c_{1})^{2}},
o que implica \dfrac{1}{(x+c_{1})^{2}}=0, impossibilidade para qualquer x do domínio. Além disso, a condição (y')^{2}=0 também não é satisfeita, pois (y')^{2}=\dfrac{1}{(x+c_{1})^{2}}>0. Logo a função não satisfaz nem y''=(y')^{2} nem (y')^{2}=0.

Passo 6

Interpretação prática para a prova: para verificar se uma função é solução, calcule y' e y'' explicitamente e substitua na equação; se der igualdade verdadeira para todo x do domínio, é solução. Aqui o cálculo direto mostrou uma contradição, então a função falha como solução.

Resposta

Não; a função y=\ln\!\left|x+c_{1}\right|+c_{2} não é solução da equação dada.

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