Verifique se a função dada é solução para as equações diferenciais apresentadas. (
e
, são constantes.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e diz que a função implícita
(onde
é constante) seria solução. O que nos pedem: verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 2
Estratégia: para verificar uma solução implícita do tipo
usamos a diferenciação total. Se
constante, então
. Vou calcular
e
e comparar os dois lados para ver se coincidem com a equação dada.
Passo 3
Regra que vamos usar: para produtos a diferencial satisfaz
e para funções de
usuais:
e
. Agora aplico nas parcelas do lado esquerdo.
Calculemos
. Tomando
e
,
Calculemos
:
Somando,
Passo 4
Agora a diferencial do lado direito. Temos
porque
é constante. Em seguida,
e
Somando as parcelas do lado direito:
Passo 5
Igualando as diferenciais (pois a expressão implícita afirma que as duas são iguais), obtemos
Reorganizando para formar uma equação do tipo "coefs de
e
" igual a zero:
Comparando com a equação dada no enunciado,
vemos que falta o termo extra
multiplicando
. Ou seja, a diferenciação da função proposta gera um termo adicional que não aparece na equação original.
Passo 6
Verificação final rápida por contraprova numérica: em
o termo extra vale
, que não é zero. Logo a igualdade não pode ocorrer para todo
. Portanto a função não satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
Não.