Verifique se a função dada é solução para as equações diferenciais apresentadas. ( \mathrm{c}_{1} e \mathrm{c}_{2}, são constantes.
2 x y d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0 ; x^{2} y+y^{2}=c_{1} -\frac{1}{2} \cos x+10 e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x y\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0
e diz que a função implícita
x^{2}y + y^{2} = c_{1} - \tfrac{1}{2}\cos x + 10 e^{-x}
(onde c_{1} é constante) seria solução. O que nos pedem: verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 2

Estratégia: para verificar uma solução implícita do tipo F(x,y)=\text{const} usamos a diferenciação total. Se F(x,y)= constante, então dF=0. Vou calcular d\bigl(x^{2}y + y^{2}\bigr) e d\bigl(c_{1} - \tfrac{1}{2}\cos x + 10 e^{-x}\bigr) e comparar os dois lados para ver se coincidem com a equação dada.

Passo 3

Regra que vamos usar: para produtos a diferencial satisfaz
d(uv)=u\,dv+v\,du,
e para funções de x usuais: d(\cos x) = -\sin x\,dx e d(e^{-x})=-e^{-x}\,dx. Agora aplico nas parcelas do lado esquerdo.
Calculemos d(x^{2}y). Tomando u=x^{2} e v=y,
d(x^{2}y)=d(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot d(y) = (2x\,dx)\,y + x^{2}\,dy = 2x y\,dx + x^{2}\,dy.
Calculemos d(y^{2}):
d(y^{2}) = 2y\,dy.
Somando,
d\bigl(x^{2}y + y^{2}\bigr) = 2x y\,dx + (x^{2}+2y)\,dy.

Passo 4

Agora a diferencial do lado direito. Temos d(c_{1})=0 porque c_{1} é constante. Em seguida,
d\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos x\bigr) = -\tfrac{1}{2}\,d(\cos x) = -\tfrac{1}{2}(-\sin x\,dx)=\tfrac{1}{2}\sin x\,dx,
e
d\bigl(10 e^{-x}\bigr) = 10\,d(e^{-x}) = 10(-e^{-x}\,dx) = -10 e^{-x}\,dx.
Somando as parcelas do lado direito:
d\bigl(c_{1} - \tfrac{1}{2}\cos x + 10 e^{-x}\bigr) = \bigl(\tfrac{1}{2}\sin x - 10 e^{-x}\bigr)\,dx.

Passo 5

Igualando as diferenciais (pois a expressão implícita afirma que as duas são iguais), obtemos
2x y\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = \bigl(\tfrac{1}{2}\sin x - 10 e^{-x}\bigr)\,dx.
Reorganizando para formar uma equação do tipo "coefs de dx e dy" igual a zero:
\bigl(2x y - \tfrac{1}{2}\sin x + 10 e^{-x}\bigr)\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0.
Comparando com a equação dada no enunciado,
2x y\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0,
vemos que falta o termo extra -\tfrac{1}{2}\sin x + 10 e^{-x} multiplicando dx. Ou seja, a diferenciação da função proposta gera um termo adicional que não aparece na equação original.

Passo 6

Verificação final rápida por contraprova numérica: em x=0 o termo extra vale \tfrac{1}{2}\sin 0 - 10 e^{0} = 0 - 10 = -10, que não é zero. Logo a igualdade não pode ocorrer para todo x. Portanto a função não satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

Não.

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