Um novo sistema de imagem médica chegou para você avaliar. O impulso da resposta do sistema medido por você foi
h(x, y)=e^{-\pi\left(x^{2}+\frac{y^{2}}{4}\right)} .
Qual é a função de transferência?

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema como
h(x,y)=e^{-\pi\left(x^{2}+\frac{y^{2}}{4}\right)}.
E pergunta qual é a função de transferência do sistema. Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\quad h(x,y)\\ \text{está definida para }(x,y)\in\mathbb{R}^2,á
\text{(ii)}\quad h(x,y)\\ \text{é um produto de fatores em }x\text{ e }y\\ (\text{função separável}),éçãá
\text{(iii)}\quad \text{o fator em }x\text{ é }e^{-\pi x^{2}}\text{ e o fator em }y\text{ é }e^{-\pi y^{2}/4}.éé
A tarefa é calcular a função de transferência (ou seja, a transformada de Fourier bidimensional do impulso).

Passo 2

Vou usar a definição usual de transformada de Fourier bidimensional em termos de frequências espaciais (u,v):
H(u,v)=\iint_{\mathbb{R}^2} h(x,y)\,e^{-2\pi i(ux+vy)}\,dx\,dy.
Aqui (u,v) são as frequências espaciais (em ciclos por unidade de comprimento). Como h(x,y) é separável (produto de uma função só de x por outra só de y), a integral dupla separa em produto de duas integrais 1D:
H(u,v)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^{2}}e^{-2\pi i u x}\,dx\right)\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi \frac{y^{2}}{4}}e^{-2\pi i v y}\,dy\right).

Passo 3

Para resolver as integrais 1D acima, uso uma identidade padrão para a transformada de Fourier de uma gaussiana do tipo e^{-\pi a t^{2}} (com \Re(a)>0):
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a t^{2}} e^{-2\pi i f t}\,dt = a^{-1/2}\,e^{-\pi \frac{f^{2}}{a}}.
Vou demonstrar rapidamente essa identidade (é útil saber como chegar nela na prova).

Passo 4

Demonstração por completar o quadrado (1D). Considere
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a t^{2}} e^{-2\pi i f t}\,dt.
No expoente:
-\pi a t^{2} -2\pi i f t = -\pi a\left(t^{2} + \frac{2i f}{a}t\right).
Completando o quadrado:
t^{2} + \frac{2i f}{a}t = \left(t + \frac{i f}{a}\right)^{2} - \left(\frac{i f}{a}\right)^{2}.
Então
-\pi a t^{2} -2\pi i f t = -\pi a\left(t + \frac{i f}{a}\right)^{2} -\pi a\left(-\frac{f^{2}}{a^{2}}\right) = -\pi a\left(t + \frac{i f}{a}\right)^{2} + \pi\frac{f^{2}}{a}.
Logo
I = e^{\pi \frac{f^{2}}{a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a\left(t + \frac{i f}{a}\right)^{2}}\,dt.
Fazendo a mudança de variável complexa s=\sqrt{a}\left(t + \frac{i f}{a}\right) (o deslocamento imaginário não altera o valor da integral gaussiana pela teoria de contornos), obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a\left(t + \frac{i f}{a}\right)^{2}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi s^{2}}\,ds = \frac{1}{\sqrt{a}}.
Portanto
I = \frac{1}{\sqrt{a}}\,e^{\pi \frac{f^{2}}{a}}.
Observe que havia um sinal trocado: lembrar que no passo ao completar o quadrado a exponenciação final tem sinal negativo em f^{2}. Reescrevendo corretamente (verificando sinais) chegamos à forma padrão
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a t^{2}} e^{-2\pi i f t}\,dt = a^{-1/2}\,e^{-\pi \frac{f^{2}}{a}}.
(Esse é um resultado clássico: a transformada de uma gaussiana com fator \pi a no expoente fecha com outra gaussiana, com parâmetro recíproco.)

Passo 5

Aplique a identidade ao fator em x. Aqui a=1 e f=u. Assim
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^{2}} e^{-2\pi i u x}\,dx = 1^{-1/2} e^{-\pi \frac{u^{2}}{1}} = e^{-\pi u^{2}}.

Passo 6

Aplique a identidade ao fator em y. Aqui a=\tfrac{1}{4} e f=v. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi \frac{y^{2}}{4}} e^{-2\pi i v y}\,dy = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1/2} e^{-\pi \frac{v^{2}}{1/4}}.
Calcule os termos: \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1/2}=2 e \dfrac{v^{2}}{1/4}=4v^{2}. Logo essa integral vale
2\,e^{-4\pi v^{2}}.

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais em x e em y temos a transformada bidimensional:
H(u,v)=\bigl(e^{-\pi u^{2}}\bigr)\cdot\bigl(2\,e^{-4\pi v^{2}}\bigr)=2\,e^{-\pi u^{2}}\,e^{-4\pi v^{2}}.
Para escrever de forma compacta:
H(u,v)=2\,e^{-\pi\left(u^{2}+4v^{2}\right)}.

Resposta

H(u,v)=2\,e^{-\pi\left(u^{2}+4v^{2}\right)}

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