Um novo sistema de imagem médica chegou para você avaliar. O impulso da resposta do sistema medido por você foi
Qual é a função de transferência?
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema como
E pergunta qual é a função de transferência do sistema. Informações importantes extraídas do enunciado:
A tarefa é calcular a função de transferência (ou seja, a transformada de Fourier bidimensional do impulso).
Passo 2
Vou usar a definição usual de transformada de Fourier bidimensional em termos de frequências espaciais
:
Aqui
são as frequências espaciais (em ciclos por unidade de comprimento). Como
é separável (produto de uma função só de
por outra só de
), a integral dupla separa em produto de duas integrais 1D:
Passo 3
Para resolver as integrais 1D acima, uso uma identidade padrão para a transformada de Fourier de uma gaussiana do tipo
(com
):
Vou demonstrar rapidamente essa identidade (é útil saber como chegar nela na prova).
Passo 4
Demonstração por completar o quadrado (1D). Considere
No expoente:
Completando o quadrado:
Então
Logo
Fazendo a mudança de variável complexa
(o deslocamento imaginário não altera o valor da integral gaussiana pela teoria de contornos), obtemos
Portanto
Observe que havia um sinal trocado: lembrar que no passo ao completar o quadrado a exponenciação final tem sinal negativo em
. Reescrevendo corretamente (verificando sinais) chegamos à forma padrão
(Esse é um resultado clássico: a transformada de uma gaussiana com fator
no expoente fecha com outra gaussiana, com parâmetro recíproco.)
Passo 5
Aplique a identidade ao fator em
. Aqui
e
. Assim
Passo 6
Aplique a identidade ao fator em
. Aqui
e
. Portanto
Calcule os termos:
e
. Logo essa integral vale
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais em
e em
temos a transformada bidimensional:
Para escrever de forma compacta: