em que \theta=|\alpha x| \leq \pi / 2 e |\alpha y| \leq \pi / 2. Sabendo que o sistema é separável com h(x, y)=h(x) h(y), encontre a função de transferência.
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso bidimensional
e informa que o sistema é separável, isto é, h(x,y)=h(x)\,h(y). A pergunta é: encontre a função de transferência do sistema (ou seja, a resposta em frequência H(\omega_x,\omega_y)). As informações relevantes a usar são: o fator \dfrac{\alpha}{2}, os fatores \cos(\alpha x) e \cos(\alpha y), e os limites de suporte em x e y dados por |\alpha x|\le\pi/2 e |\alpha y|\le\pi/2.]
Passo 2
O que é a função de transferência aqui? Em 2D a função de transferência é a transformada de Fourier bidimensional da resposta ao impulso:
Explicando as variáveis: \omega_x e \omega_y são as frequências (variáveis de frequência) nas direções x e y; j é a unidade imaginária. A transformada transforma a descrição no domínio espacial (x,y) para o domínio de frequências (\omega_x,\omega_y).
Passo 3
Usamos a separabilidade para separar a integral dupla em produto de duas integrais 1D. Observe que a região de não‑zero é um retângulo em x e y com
a=\frac{\pi}{2\alpha},
pois |\alpha x|\le\pi/2 equivale a |x|\le a. Assim
Observação sobre casos singulares: se \omega=\alpha (ou \omega=-\alpha) o termo correspondente é entendido pelo limite \lim_{k\to0}\sin(ka)/k=a, então I(\alpha)=a+\dfrac{\sin((2\alpha)a)}{2\alpha} etc.; na prática a forma acima cobre tudo se interpretarmos os limites corretamente.
Passo 5
Substituímos a=\dfrac{\pi}{2\alpha} na expressão de I(\omega). Assim