Considere a seguinte resposta ao impulso de um sistema
h(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\alpha}{2} \cos (\alpha x) \cos (\alpha y), & \theta, \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array},\right.á
em que \theta=|\alpha x| \leq \pi / 2 e |\alpha y| \leq \pi / 2. Sabendo que o sistema é separável com h(x, y)=h(x) h(y), encontre a função de transferência.

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso bidimensional
h(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\alpha}{2}\cos(\alpha x)\cos(\alpha y), & \text{se }|\alpha x|\le\frac{\pi}{2}\text{ e }|\alpha y|\le\frac{\pi}{2},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e informa que o sistema é separável, isto é, h(x,y)=h(x)\,h(y). A pergunta é: encontre a função de transferência do sistema (ou seja, a resposta em frequência H(\omega_x,\omega_y)). As informações relevantes a usar são: o fator \dfrac{\alpha}{2}, os fatores \cos(\alpha x) e \cos(\alpha y), e os limites de suporte em x e y dados por |\alpha x|\le\pi/2 e |\alpha y|\le\pi/2.]

Passo 2

O que é a função de transferência aqui? Em 2D a função de transferência é a transformada de Fourier bidimensional da resposta ao impulso:
H(\omega_x,\omega_y)=\iint_{-\infty}^{\infty} h(x,y)\,e^{-j(\omega_x x+\omega_y y)}\,dx\,dy.
Explicando as variáveis: \omega_x e \omega_y são as frequências (variáveis de frequência) nas direções x e y; j é a unidade imaginária. A transformada transforma a descrição no domínio espacial (x,y) para o domínio de frequências (\omega_x,\omega_y).

Passo 3

Usamos a separabilidade para separar a integral dupla em produto de duas integrais 1D. Observe que a região de não‑zero é um retângulo em x e y com
a=\frac{\pi}{2\alpha},
pois |\alpha x|\le\pi/2 equivale a |x|\le a. Assim
H(\omega_x,\omega_y)=\frac{\alpha}{2}\left(\int_{-a}^{a}\cos(\alpha x)\,e^{-j\omega_x x}\,dx\right)\left(\int_{-a}^{a}\cos(\alpha y)\,e^{-j\omega_y y}\,dy\right).
Definimos a integral 1D genérica
I(\omega)=\int_{-a}^{a}\cos(\alpha x)\,e^{-j\omega x}\,dx,
então H(\omega_x,\omega_y)=\dfrac{\alpha}{2}\,I(\omega_x)\,I(\omega_y). Agora vamos calcular I(\omega).

Passo 4

Para calcular I(\omega) escrevemos \cos(\alpha x) em termos de exponenciais:
\cos(\alpha x)=\frac{e^{j\alpha x}+e^{-j\alpha x}}{2}.
Logo
I(\omega)=\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}e^{-j(\omega-\alpha)x}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}e^{-j(\omega+\alpha)x}\,dx.
Usamos a fórmula básica de integral exponencial
\int_{-a}^{a}e^{-jkx}\,dx=\frac{e^{-jkx}}{-jk}\Big|_{-a}^{a}=2\frac{\sin(ka)}{k},
válida para k\neq0, e com limite 2a quando k\to0. Aplicando com k=\omega-\alpha e k=\omega+\alpha obtemos
I(\omega)=\frac{1}{2}\left(2\frac{\sin((\omega-\alpha)a)}{\omega-\alpha}\right)+\frac{1}{2}\left(2\frac{\sin((\omega+\alpha)a)}{\omega+\alpha}\right).
Simplificando:
I(\omega)=\frac{\sin((\omega-\alpha)a)}{\omega-\alpha}+\frac{\sin((\omega+\alpha)a)}{\omega+\alpha}.
Observação sobre casos singulares: se \omega=\alpha (ou \omega=-\alpha) o termo correspondente é entendido pelo limite \lim_{k\to0}\sin(ka)/k=a, então I(\alpha)=a+\dfrac{\sin((2\alpha)a)}{2\alpha} etc.; na prática a forma acima cobre tudo se interpretarmos os limites corretamente.

Passo 5

Substituímos a=\dfrac{\pi}{2\alpha} na expressão de I(\omega). Assim
I(\omega)=\frac{\sin\!\big((\omega-\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega-\alpha}+\frac{\sin\!\big((\omega+\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega+\alpha}.
Portanto a função de transferência 2D é
H(\omega_x,\omega_y)=\frac{\alpha}{2}\;I(\omega_x)\;I(\omega_y),
com I dada acima.

Passo 6

Escrevendo explicitamente H(\omega_x,\omega_y) com todas as peças:
H(\omega_x,\omega_y)=\frac{\alpha}{2}\left[\frac{\sin\!\big((\omega_x-\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_x-\alpha}+\frac{\sin\!\big((\omega_x+\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_x+\alpha}\right]\left[\frac{\sin\!\big((\omega_y-\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_y-\alpha}+\frac{\sin\!\big((\omega_y+\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_y+\alpha}\right].
Essa é uma forma final válida. Pode-se reescrever usando funções sinc normalizadas, mas a expressão acima é direta e obtida via integrais elementares.

Resposta

H(\omega_x,\omega_y)=\frac{\alpha}{2}\left[\frac{\sin\!\big((\omega_x-\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_x-\alpha}+\frac{\sin\!\big((\omega_x+\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_x+\alpha}\right]\left[\frac{\sin\!\big((\omega_y-\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_y-\alpha}+\frac{\sin\!\big((\omega_y+\alpha)\dfrac{\pi}{2\alpha}\big)}{\omega_y+\alpha}\right].

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