Verifique se a função que está definida por partes é solução da EDO, para cada item.
x y^prime-2 y=0 ; y=l-x^2, para x<0 x^2, para x >= 0 e

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x,y' - 2,y = 0
e a função definida por partes
y(x)= -x^2, & x<0, x^2, & x>= 0
O conteúdo é EDO de primeira ordem (homogênea) com ponto singular em x=0. Para verificar se é solução, vamos calcular y' em cada região e substituir na equação.

Passo 2

Calcular a derivada em cada intervalo:
Para x<0, temos y(x)=-x^2, logo
y'(x)=-2x
Para x>0, temos y(x)=x^2, logo
y'(x)=2x
Em x=0, os limites laterais são
limxto0^-y'(x)=limxto0^-(-2x)=0, limxto0^+y'(x)=limxto0^+(2x)=0,
portanto podemos definir y'(0)=0.

Passo 3

Substituir na EDO para x<0 e x>0:
x,y' - 2y
Para x<0:
x(-2x)-2(-x^2)=-2x^2+2x^2=0
Para x>0:
x(2x)-2(x^2)=2x^2-2x^2=0

Passo 4

Verificar em x=0: a equação fica
0cdot y'(0)-2,y(0)=-2,y(0)=0,
o que exige y(0)=0. Como y(0)=0^2=0, a condição em x=0 também é satisfeita.

Passo 5

Concluímos que a função satisfaz a EDO em x<0, em x>0 e verifica ainda a condição em x=0.

Resposta

Sim, a função definida por partes é solução da EDO ,x,y'-2y=0 em todo o seu domínio.

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