Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada.
(y^prime)^2=9 x y ; y=ccx^3, & se x >= 0 0, & se x<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função definida por partes resolve uma determinada equação diferencial. A equação que temos é y = x^3, & se x >= 0 0, & se x < 0 , e a função é definida assim:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como funcionam as equações diferenciais. Basicamente, vamos calcular a derivada da função em cada parte e ver se ela satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função onde y' = ddx(x^3) = 3x^2 , ou seja, (3x^2)^2 = 9x(x^3) 9x^4 = 9x^4 . Para verificar se essa parte satisfaz a equação diferencial, precisamos encontrar a derivada .
Calculando a derivada:
Agora, vamos substituir e na equação :
Vemos que a igualdade se mantém verdadeira para . Então, nessa parte, a função é uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte da função onde y' = ddx(0) = 0 , ou seja, (0)^2 = 9x(0) 0 = 0 . Vamos calcular a derivada dessa parte.
Calculando a derivada:
Substituindo e na equação :
A igualdade também se mantém verdadeira para . Portanto, nessa parte, a função também é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Por último, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em limx to 0^+ y = limx to 0^+ x^3 = 0 limx to 0^- y = 0 y(0) = 0 . É importante garantir que a função e sua derivada sejam contínuas nesse ponto para que a solução seja válida em todo o domínio.
Vamos verificar a continuidade de limx to 0^+ y' = limx to 0^+ 3x^2 = 0 limx to 0^- y' = 0 y'(0) = 0 em :
A função é contínua em .
Agora, vamos verificar a continuidade da derivada em :
A derivada também é contínua em . Portanto, a função definida por partes é uma solução válida para toda a equação diferencial.

Resposta

Sim, a função definida por partes satisfaz a equação diferencial em todo o seu domínio.

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