Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função definida por partes resolve uma determinada equação diferencial. A equação que temos é
, e a função
é definida assim:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como funcionam as equações diferenciais. Basicamente, vamos calcular a derivada da função
em cada parte e ver se ela satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função onde
, ou seja,
. Para verificar se essa parte satisfaz a equação diferencial, precisamos encontrar a derivada
.
Calculando a derivada:
Agora, vamos substituir
e
na equação
:
Vemos que a igualdade se mantém verdadeira para
. Então, nessa parte, a função
é uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte da função onde
, ou seja,
. Vamos calcular a derivada
dessa parte.
Calculando a derivada:
Substituindo
e
na equação
:
A igualdade também se mantém verdadeira para
. Portanto, nessa parte, a função
também é uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Por último, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em
. É importante garantir que a função e sua derivada sejam contínuas nesse ponto para que a solução seja válida em todo o domínio.
Vamos verificar a continuidade de
em
:
A função é contínua em
.
Agora, vamos verificar a continuidade da derivada
em
:
A derivada também é contínua em
. Portanto, a função definida por partes é uma solução válida para toda a equação diferencial.
Resposta
Sim, a função definida por partes satisfaz a equação diferencial
em todo o seu domínio.