Resolva
Determine o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow 10,01} \frac{x y}{x^{3}+y^{a}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{3}+y^{a}}.
Observações/informações extraídas do enunciado:
  • A expressão a estudar é \dfrac{x y}{x^{3}+y^{a}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Há um parâmetro a (constante) no expoente de y. Não foi dito explicitamente se a é inteiro ou real; vou tratar os casos mais relevantes e, quando necessário, mencionar restrição de domínio (por exemplo, se a não for inteiro e y<0 a potência y^{a} pode não estar definida no ℝ).
  • O objetivo é determinar quando o limite existe e qual é seu valor, possivelmente dependendo de a.

Passo 2

Plano de ataque (estratégia):
  • Em problemas de limite em várias variáveis com parâmetro, é comum analisar caminhos que equilibrem os termos do denominador. Aqui o denominador é x^{3}+y^{a}. Uma família natural de caminhos é y = c\,x^{3/a} (para x pequeno) porque aí y^{a} e x^{3} têm a mesma ordem.
  • Vou dividir a análise em casos segundo o valor de a. Primeiro trato o caso a>0 (padrão mais comum). Dentro desse caso vou provar rigorosamente que, se a<\tfrac{3}{2}, o limite é 0. Em seguida mostro que para a=\tfrac{3}{2} e para a>\tfrac{3}{2} o limite não existe (apresentando caminhos que dão limites distintos ou fazem a função ficar não limitada).
  • Comentário sobre domínio: se a não for inteiro, para falarmos da expressão quando y toma valores negativos precisamos de cuidados (potência não-inteira de número negativo pode não ser real). Para evitar complicações, a demonstração considerará caminhos com y\ge 0 quando usar y^{a} com a não inteiro; a conclusão sobre existência/divergência não muda nas situações típicas do exercício (normalmente a é real positivo).

Passo 3

Caso a>0. Estimativa uniforme que leva à conclusão para a<\tfrac{3}{2}.
Começamos observando que, para quaisquer x,y,
x^{3}+y^{a} \ge \max\{x^{3},\,y^{a}\}.
Logo
\left|\frac{x y}{x^{3}+y^{a}}\right| \le \frac{|x y|}{\max\{x^{3},y^{a}\}} = \min\!\left\{\frac{|y|}{|x|^{2}},\;\frac{|x|\,|y|^{1-a}}{1}\right\}.
Agora fixamos uma relação divisor/compensação natural: comparemos |y| com |x|^{3/a}. Há duas possibilidades para pontos próximos de (0,0).
Primeiro caso: |y| \le |x|^{3/a}.
Então \max\{x^{3},y^{a}\} \ge x^{3}, e portanto
\left|\frac{x y}{x^{3}+y^{a}}\right| \le \frac{|y|}{|x|^{2}} \le \frac{|x|^{3/a}}{|x|^{2}} = |x|^{\tfrac{3}{a}-2}.
Segundo caso: |y| \ge |x|^{3/a}.
Então \max\{x^{3},y^{a}\} \ge y^{a}, e
\left|\frac{x y}{x^{3}+y^{a}}\right| \le \frac{|x|\,|y|^{1-a}}{1} \le |x| \left(|x|^{3/a}\right)^{1-a} = |x|^{\,1+\tfrac{3(1-a)}{a}} = |x|^{\tfrac{3}{a}-2}.
Em ambas as hipóteses obtemos o mesmo majorante:
\left|\frac{x y}{x^{3}+y^{a}}\right| \le |x|^{\tfrac{3}{a}-2}.
Portanto, se o expoente \tfrac{3}{a}-2 for positivo, o majorante tende a 0 quando x\to 0, e isso força a expressão original a tender a 0 quando (x,y)\to(0,0). A condição
\tfrac{3}{a}-2>0
é equivalente a
a<\tfrac{3}{2}.
Conclusão parcial: para 0<a<\tfrac{3}{2} temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{3}+y^{a}}=0.

Passo 4

Caso a=\tfrac{3}{2}. construir caminhos que dão limites diferentes.
Tome a família de caminhos
y=c\,x^{3/a}=c\,x^{2}\quad\text{(aqui }a=\tfrac{3}{2}\text{, logo }3/a=2\text{),}
com c>0 fixo. Substituindo na expressão:
\frac{x y}{x^{3}+y^{a}} = \frac{x\cdot (c x^{2})}{x^{3}+(c x^{2})^{3/2}} = \frac{c x^{3}}{x^{3}+c^{3/2} x^{3}} = \frac{c}{1+c^{3/2}}.
Esse valor não depende de x (para x\neq 0), portanto quando x\to 0 a função tende para \dfrac{c}{1+c^{3/2}}. Como esse limite depende de c, escolhendo c distintos obtém-se limites diferentes. Logo o limite em (0,0) não existe quando a=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Caso a>\tfrac{3}{2}. mostrar divergência (não existe limite; de fato a função fica não limitada).
Considere de novo a família de caminhos y=c\,x^{3/a} (agora 3/a<2). Substituindo:
\frac{x y}{x^{3}+y^{a}} = \frac{x\cdot (c x^{3/a})}{x^{3}+(c x^{3/a})^{a}} = \frac{c\,x^{1+3/a}}{x^{3}+c^{a} x^{3}} = \frac{c\,x^{1+3/a}}{(1+c^{a})x^{3}} = \frac{c}{1+c^{a}}\,x^{\tfrac{3}{a}-2}.
Agora, para a>\tfrac{3}{2} temos \tfrac{3}{a}-2<0. Assim x^{\tfrac{3}{a}-2}\to+\infty quando x\to 0^{+}; portanto a expressão tende a +\infty (se c/(1+c^{a})>0) ou a -\infty (se c<0 e potência bem definida), isto é, a função torna-se não limitada ao aproximar-se de (0,0) por essas curvas. Em particular o limite não existe para a>\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Resumo e observações finais:
  • Para 0<a<\tfrac{3}{2} a função tende a 0 em qualquer caminho, e provou-se uma desigualdade que força o valor a 0. Logo o limite existe e é 0.
  • Para a=\tfrac{3}{2} existem caminhos que dão valores distintos (por exemplo y=cx^{2} produz \dfrac{c}{1+c^{3/2}}), logo o limite não existe.
  • Para a>\tfrac{3}{2} existem caminhos ao longo dos quais o valor da função diverge (fica não limitado), logo o limite não existe.
  • Observação sobre domínio: se a não for inteiro, é preciso interpretar y^{a} apenas para y>0 (ou restringir a potências reais bem definidas). As conclusões acima valem para aproximações por caminhos com y\ge 0. Em exercícios normais a é considerado real e a análise interessa essencialmente para a>0.

Resposta

Para 0<a<\tfrac{3}{2} o limite é 0.
Para a\ge \tfrac{3}{2} o limite não existe.

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