Calcule a soma da série dada.
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • O somatório é para k variando de 0 até infinito.
  • O termo geral é \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}.
A pergunta clara é: qual é o valor numérico da soma dessa série infinita?

Passo 2

Vamos identificar a série como um caso particular de série geométrica e lembrar a definição e a forma dos seus termos.
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a\,r^{k},
onde:
  • a é o primeiro termo (quando k=0, o termo é a\cdot r^{0}=a);
  • r é a razão comum entre termos consecutivos (cada termo é obtido multiplicando o anterior por r).
No nosso problema, comparando com essa forma, temos:
a=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=1,\qquad r=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora vamos deduzir a fórmula para a soma parcial de uma série geométrica finita e depois passar ao infinito. Seja a soma parcial até n:
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a\,r^{k}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{n}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n} + a r^{n+1}.
Subtraindo as duas equações (primeira menos segunda) cancela quase todos os termos:
S_{n}-rS_{n}=a - a r^{n+1}.
Fatorando S_{n} do lado esquerdo:
S_{n}(1-r)=a(1-r^{n+1}).
Portanto, desde que r\neq 1,
S_{n}=\frac{a\bigl(1-r^{n+1}\bigr)}{1-r}.

Passo 4

Para passar ao somatório infinito, tomamos o limite quando n\to\infty. A série infinita converge (tem soma finita) se e somente se
\lim_{n\to\infty} r^{n+1}=0,
que ocorre quando |r|<1. Nesse caso,
\sum_{k=0}^{\infty} a\,r^{k}=\lim_{n\to\infty} S_{n}=\frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série não converge (ou diverge para infinito ou não tem limite).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: temos a=1 e r=\tfrac{1}{2}. Como |r|=\tfrac{1}{2}<1, a série converge e a soma é
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}.
Calcule o denominador:
1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
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\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 6

Confirmação rápida por outro método (intuição/algebra simples): se chamarmos a soma infinita de S,
S=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\cdots.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}
\tfrac{1}{2}S=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\cdots.
Subtraindo: S-\tfrac{1}{2}S=1, ou seja \tfrac{1}{2}S=1, então S=2. Também podemos ver pelos parciais: S_{0}=1, S_{1}=\tfrac{3}{2}, S_{2}=\tfrac{7}{4}=1,75, S_{3}=1,875, que vão se aproximando de 2.

Resposta

2

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