Calcule a soma da série dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
- O somatório é para
variando de até infinito. - O termo geral é
.
A pergunta clara é: qual é o valor numérico da soma dessa série infinita?
Passo 2
Vamos identificar a série como um caso particular de série geométrica e lembrar a definição e a forma dos seus termos.
Uma série geométrica tem a forma
onde:
-
é o primeiro termo (quando , o termo é ); -
é a razão comum entre termos consecutivos (cada termo é obtido multiplicando o anterior por ).
No nosso problema, comparando com essa forma, temos:
Passo 3
Agora vamos deduzir a fórmula para a soma parcial de uma série geométrica finita e depois passar ao infinito. Seja a soma parcial até
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Subtraindo as duas equações (primeira menos segunda) cancela quase todos os termos:
Fatorando
do lado esquerdo:
Portanto, desde que
,
Passo 4
Para passar ao somatório infinito, tomamos o limite quando
. A série infinita converge (tem soma finita) se e somente se
que ocorre quando
. Nesse caso,
Se
, a série não converge (ou diverge para infinito ou não tem limite).
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: temos
e
. Como
, a série converge e a soma é
Calcule o denominador:
logo
Passo 6
Confirmação rápida por outro método (intuição/algebra simples): se chamarmos a soma infinita de
,
Multiplicando por
dá
Subtraindo:
, ou seja
, então
. Também podemos ver pelos parciais:
,
,
,
, que vão se aproximando de
.