Verifique se a função f\) é contínua no ponto especificado. c) \(f(x) = \begin{cases} x, & x < -2 \\\\ 1, & x = -2 \\\ x, & x > -2 \\\ \end{cases} em x = -2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado: verificar se a função
f(x)=\begin{cases} x, & x<-2\\[4pt] 1, & x=-2\\[4pt] x, & x>-2 \end{cases}
é contínua no ponto -2. Ou seja, preciso analisar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de -2 e comparar com o valor f(-2)=1.]

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (explicação passo a passo): dizemos que f é contínua em a se, e somente se, duas coisas acontecem:
  1. O limite \lim_{x\to a} f(x) existe (isto é, os limites laterais existem e são iguais).
  2. Esse limite é igual ao valor da função no ponto: \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Obs.: quando falamos de limites que “existem”, muitas vezes é útil verificar os limites laterais:
  • \lim_{x\to a^-} f(x) (aproximação pela esquerda),
  • \lim_{x\to a^+} f(x) (aproximação pela direita).
    Se estes dois são iguais, então \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a esse valor comum.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em -2. Para x<-2 a função é f(x)=x. Então, quando x se aproxima de -2 pela esquerda, o valor de f(x) aproxima-se de -2. Formalmente:
\lim_{x\to -2^-} f(x)=\lim_{x\to -2^-} x = -2.
Justificativa simples: a função é a identidade x num intervalo à esquerda de -2, então o limite é o próprio ponto de aproximação.

Passo 4

Calcular o limite pela direita em -2. Para x>-2 também temos f(x)=x. Assim:
\lim_{x\to -2^+} f(x)=\lim_{x\to -2^+} x = -2.
Mesma justificativa: à direita de -2 a função vale x, então aproximando x de -2 obtemos -2.

Passo 5

Concluir sobre o limite total em -2. Como os limites laterais coincidem,
\lim_{x\to -2} f(x)= -2.
Agora aplicamos a definição de continuidade: devemos comparar esse limite com o valor da função no ponto, que é f(-2)=1.

Passo 6

Comparação final e classificação da descontinuidade. Temos
\lim_{x\to -2} f(x) = -2 \quad\text{e}\quad f(-2)=1,
logo esses valores são diferentes. Portanto a condição \lim_{x\to -2} f(x)=f(-2) falha e a função não é contínua em -2.
Observação didática e dica para a prova: esse tipo de descontinuidade — quando o limite existe mas difere do valor da função no ponto — chama-se descontinuidade removível. Para “consertar” a continuidade bastaria redefinir f(-2) como -2.

Resposta

A função não é contínua em -2; \lim_{x\to -2} f(x)=-2\neq f(-2)=1 (descontinuidade removível).

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