Verifique se a função f\) é contínua no ponto especificado.
b) \(f(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\\\ 2, & x = 1 \\\ x, & x > 1 \\\ \end{cases} em x = 1
Lembrete do que significa ser contínua em um ponto (explicação didática):
Dizemos que f é contínua em x=1 se e somente se os três itens seguintes ocorrerem:
\lim_{x\to1^-} f(x) existe (limite pela esquerda).
\lim_{x\to1^+} f(x) existe (limite pela direita).
Os dois limites são iguais e esse valor coincide com f(1): \lim_{x\to1} f(x)=f(1).
Em palavras: ao aproximar x de 1 por qualquer lado, os valores f(x) devem tender ao mesmo número, e esse número tem que ser exatamente o valor da função no ponto.
Passo 3
Calcular o limite lateral pela esquerda \lim_{x\to1^-} f(x).
Para x<1 temos f(x)=x. Então, ao aproximar x de 1 vindo da esquerda, estamos apenas aproximando o número x de 1. Assim
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x = 1.
Explicação adicional (epsilon–delta simples, para consolidar a ideia):
Queremos mostrar que \lim_{x\to1} x = 1. Dado \varepsilon>0, tomando \delta=\varepsilon garante que se |x-1|<\delta então |x-1|<\varepsilon. Logo o limite é 1. Isso vale tanto vindo da esquerda quanto da direita.
Passo 4
Calcular o limite lateral pela direita \lim_{x\to1^+} f(x).
Para x>1 também temos f(x)=x. Então, ao aproximar x de 1 vindo da direita,
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} x = 1.
Pelo argumento epsilon–delta do passo anterior a conclusão é análoga.
Passo 5
Comparar os limites laterais e verificar o limite total.
Como \lim_{x\to1^-} f(x)=1 e \lim_{x\to1^+} f(x)=1, o limite bilateral existe e
\lim_{x\to1} f(x)=1.
Agora comparar com o valor da função em 1: temos f(1)=2. Como
\lim_{x\to1} f(x)=1 \quad\text{e}\quad f(1)=2,
esses números não coincidem.
Passo 6
Conclusão e classificação da descontinuidade (explicação didática e ânimo):
A condição necessária para continuidade falha porque o limite em x=1 existe e vale 1, mas o valor da função no ponto é 2. Portanto f não é contínua em x=1.
Tipo de descontinuidade: é uma descontinuidade removível, porque o limite existe (é 1) mas a função toma um valor diferente no ponto. Se redefiníssemos f(1)=1 a função ficaria contínua em x=1.
Dica prática para a prova: sempre calcule os limites laterais e compare com f(1). Se os limites existem e igualam f(1), é contínua; se o limite existe mas diferente de f(1), é descontinuidade removível; se os limites laterais são diferentes, é descontinuidade de salto.
Força aí — você já fez o passo mais importante: checar limites laterais e comparar com o valor da função!
Resposta
Não; f não é contínua em x=1. A \lim_{x\to1} f(x)=1 enquanto f(1)=2, portanto há uma descontinuidade removível.