Verifique se a função f\) é contínua no ponto especificado. a) \(f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\\\ 1, & x = 0 \\\ x, & x > 0 \\\ \end{cases} em x = 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} x, & x<0,\\[4pt] 1, & x=0,\\[4pt] x, & x>0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto x=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para todo x\neq0 temos f(x)=x.
  • O valor da função no ponto é f(0)=1.
  • A pergunta é única: a função é contínua em 0?]

Passo 2

Lembrete (definição prática de continuidade num ponto): uma função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para que \lim_{x\to a} f(x) exista é preciso que as duas limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existam e sejam iguais. Vou calcular as duas limites laterais em a=0 e comparar com f(0).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda:
Como para x<0 vale f(x)=x, tem-se
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} x = 0.
Explicação curta: quando x se aproxima de 0 vindo da esquerda, o próprio x tende a 0, então f(x)=x tende a 0. Formalmente, dado \varepsilon>0 escolha \delta=\varepsilon; se 0<|x-0|<\delta e x<0 então |f(x)-0|=|x|<\delta=\varepsilon, provando o limite.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita:
Para x>0 também vale f(x)=x, logo
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x = 0.
Mesmo raciocínio: f(x)=x quando x se aproxima de 0 pela direita, então tende a 0.

Passo 5

Como as duas limites laterais existem e são iguais, conclui-se que
\lim_{x\to 0} f(x)=0.
Mas o valor da função em 0 é f(0)=1. Como \lim_{x\to 0} f(x)\neq f(0), a função NÃO é contínua em 0.

Passo 6

Classificação da descontinuidade e observação prática: a descontinuidade é removível, porque o limite existe e é finito (igual a 0) mas o valor da função no ponto é diferente. Se redefiníssemos f(0)=0 obteríamos uma função contínua em 0.

Resposta

Não; f não é contínua em 0.

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