Responda as questões a seguir, justificando a sua afirmação:
Sabendo que |\cos (5 x)| \leq 1, o que é possível afirmar sobre \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} y \cos (5 x) ?

Passo 1

O enunciado dá a informação |\cos(5x)| \le 1 para todo x e pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} y\cos(5x).
Informações relevantes: a função considerada é f(x,y)=y\cos(5x) e a aproximação é no ponto (0,0) no plano. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y) se aproxima de (0,0)?

Passo 2

Vamos observar o valor absoluto da função, porque a desigualdade dada envolve módulo. Use a propriedade |ab| = |a|\,|b|. Aplicando a f(x,y) obtemos
|y\cos(5x)| = |y|\,|\cos(5x)|.
Como o enunciado afirma |\cos(5x)| \le 1, segue que
|y\cos(5x)| \le |y|.
Isto é uma desigualdade simples e muito útil: ela diz que a magnitude de y\cos(5x) é, no máximo, a magnitude de y.

Passo 3

Explicando por que essa desigualdade já é quase suficiente: se (x,y)\to(0,0) então necessariamente y\to 0. Logo o limite de |y| quando (x,y)\to(0,0) é 0. Agora note que temos, para todos os pontos próximos ao origem,
-|y| \le y\cos(5x) \le |y|.
Se duas funções que limitam por baixo e por cima (aqui -|y| e |y|) tendem ao mesmo limite ( 0), a função presa entre elas também tende a esse limite. Esse é o lema do sanduíche (teorema do confronto) aplicado em várias variáveis.

Passo 4

Vou escrever a aplicação do teorema do confronto de forma direta: como
\lim_{(x,y)\to(0,0)} -|y| = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} |y| = 0,
pelo teorema do confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} y\cos(5x) = 0.

Passo 5

Para deixar 100% formal, faço um pequeno argumento \varepsilon- \delta (sem mistério): seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Se (x,y) satisfaz \sqrt{x^2+y^2}<\delta então, em particular, |y|\le\sqrt{x^2+y^2}<\delta=\varepsilon. Usando a desigualdade do Passo 2,
|y\cos(5x)| \le |y| < \varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 (aqui \delta=\varepsilon) tal que \sqrt{x^2+y^2}<\delta implica |y\cos(5x)|<\varepsilon. Pela definição de limite em \mathbb{R}^2, concluímos que o limite é 0.

Resposta

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