Responda as questões a seguir, justificando a sua afirmação:
Sabendo que
, o que é possível afirmar sobre
?
Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a informação
para todo
e pede o valor do limite
Informações relevantes: a função considerada é
e a aproximação é no ponto
no plano. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
se aproxima de
?
Passo 2
Vamos observar o valor absoluto da função, porque a desigualdade dada envolve módulo. Use a propriedade
. Aplicando a
obtemos
Como o enunciado afirma
, segue que
Isto é uma desigualdade simples e muito útil: ela diz que a magnitude de
é, no máximo, a magnitude de
.
Passo 3
Explicando por que essa desigualdade já é quase suficiente: se
então necessariamente
. Logo o limite de
quando
é
. Agora note que temos, para todos os pontos próximos ao origem,
Se duas funções que limitam por baixo e por cima (aqui
e
) tendem ao mesmo limite (
), a função presa entre elas também tende a esse limite. Esse é o lema do sanduíche (teorema do confronto) aplicado em várias variáveis.
Passo 4
Vou escrever a aplicação do teorema do confronto de forma direta: como
pelo teorema do confronto segue que
Passo 5
Para deixar 100% formal, faço um pequeno argumento
-
(sem mistério): seja
. Escolha
. Se
satisfaz
então, em particular,
. Usando a desigualdade do Passo 2,
Isso mostra que, para todo
, existe
(aqui
) tal que
implica
. Pela definição de limite em
, concluímos que o limite é
.