Verifique se a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3 y}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \quad \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em ( 0,0 ). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-3y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: a função f é contínua no ponto (0,0)?\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{valor de }f\text{ para }(x,y)\neq(0,0):\; \frac{x-3y}{x^{2}+y^{2}},
\text{valor de }f\text{ em }(0,0):\; 0.
O que precisamos decidir: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a 0 (então é contínua) ou não (então não é contínua).]

Passo 2

Definição e estratégia (aula curta): uma função de duas variáveis f(x,y) é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Aqui f(0,0)=0. Para testar se esse limite existe, uma forma prática é usar a caracterização sequencial: se houver duas sequências (x_n,y_n)\to(0,0) e (u_n,v_n)\to(0,0) tais que os limites de f(x_n,y_n) e f(u_n,v_n) sejam diferentes (ou um deles não exista ou seja infinito), então o limite em (0,0) não existe. Essa técnica é muito útil na prova de não continuidade: basta encontrar uma sequência que leve a valores que não tendem a 0.

Passo 3

Vamos analisar valores de f em caminhos simples que se aproximam da origem. Primeiro escolhemos o eixo y=0 (ou seja, aproximar pela abscissa). Para (x,0) com x\neq 0 temos:
f(x,0)=\frac{x-3\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}.

Passo 4

Interpretação do resultado do Passo 3: quando x\to 0 (pela direita ou pela esquerda) a expressão \frac{1}{x} não tende a um número finito. Por exemplo, se pegarmos a sequência x_n=\frac{1}{n} e y_n=0, então (x_n,y_n)\to(0,0) e
f(x_n,y_n)=f\Big(\frac{1}{n},0\Big)=\frac{1}{1/n}=n,
que tende a +\infty quando n\to\infty. Portanto já temos uma sequência que se aproxima da origem mas cujos valores de f ficam arbitrariamente grandes (não tendem a 0 nem a qualquer número finito). Isso impede que exista um limite finito em (0,0).

Passo 5

Para reforçar a ideia (e mostrar que o comportamento depende do caminho), examinemos outra reta: a reta y=\frac{x}{3}. Substituindo y=\frac{x}{3} (com x\neq 0) na fórmula:
x-3y = x-3\cdot\frac{x}{3}=x-x=0,
logo para todo x\neq 0 ao longo dessa reta temos f(x,\tfrac{x}{3})=0. Assim, se tomarmos qualquer sequência (x_n,y_n) com y_n=\tfrac{x_n}{3} e x_n\to 0, obtemos
f(x_n,y_n)=0\quad\text{para todo }n,
portanto f(x_n,y_n)\to 0. Então ao aproximar pela reta y=\tfrac{x}{3} o valor de f tende a 0, enquanto ao aproximar pelo eixo y=0 os valores de f divergem. Esses comportamentos conflitantes mostram que não existe um único limite em (0,0).

Passo 6

Conclusão lógica: a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exigiria que todos os caminhos de aproximação à origem dessem o mesmo valor limite. Como encontramos um caminho (o eixo y=0) em que f não tende a um valor finito (por exemplo, a sequência (1/n,0) faz f\to+\infty), e outro caminho (a reta y=x/3) em que f tende a 0, concluímos que o limite não existe. Portanto não é verdade que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

Não é contínua em (0,0).

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