Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-infty, infty).
dy/dx=xy^1/2 ; y=x^4/16

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função proposta é solução da EDO de 1ª ordem dydx=xraizy no intervalo (−infty,infty). O conteúdo envolvido é verificação de solução por substituição: vamos precisar calcular dydx e comparar com o lado direito da equação.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y. Como y=x^416, pela regra do poder temos: dydx=4x^316=x^34.

Passo 3

Agora calculamos raizy. Como y=x^416, temos raizy=raizx^416=|x^2|4=x^24 (pois x^2>=0 para todo x). Então o lado direito da EDO é xraizy=xcdotx^24=x^34.

Passo 4

Comparando as expressões obtidas: dydx=x^34 e xraizy=x^34. Elas coincidem para todo xin(-infty,infty), e como y(x)>=0 garantimos que raizy está bem definida.

Passo 5

Portanto, a função y=tfracx^416 satisfaz a equação dydx=xraizy em todo o intervalo (−infty,infty).

Resposta

Sim. A função y=x^416 é solução da equação diferencial dydx=xraizy para todo xin(-infty,infty).

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