Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função $ y = x e^{x} $ é solução da equação diferencial $ y^{(n)} - 2 y^{3} + y = 0 $ para todo $ x $ no intervalo de $ -\infty $ a $ \infty $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de uma função. Para resolver isso, vamos precisar calcular a $ n $-ésima derivada de $ y $, substituir na equação e ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ y^{(n)} $. Isso representa a $ n $-ésima derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função dada é $ y = x e^{x} $. Para encontrar as derivadas, podemos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de $ y = x e^{x} $:
-
Primeira derivada ($ y’ $):
-
Segunda derivada ($ y’’ $):
-
Terceira derivada ($ y’’’ $):
Podemos notar um padrão aqui. Cada derivada adiciona 1 ao coeficiente constante:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y $, $ y^{(n)} $ e $ y^{3} $ na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos $ y^{3} $:
Agora, substituímos na equação:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de $ e^{x} $ e $ e^{3x} $ devem ser iguais a zero separadamente:
- $ (n + 2x) e^{x} = 0 $
- $ -2 x^{3} e^{3x} = 0 $
Como $ e^{x} $ e $ e^{3x} $ nunca são zero, temos:
- $ n + 2x = 0 $
- $ -2 x^{3} = 0 $
Passo 7
Analisando as equações:
- $ n + 2x = 0 $ implica $ x = -\frac{n}{2} $
- $ -2 x^{3} = 0 $ implica $ x = 0 $
Estas duas soluções para $ x $ não são compatíveis a não ser que $ n = 0 $ e $ x = 0 $. Porém, a equação diferencial deve valer para todo $ x $, não apenas para valores específicos.
Resposta
Portanto, a função $ y = x e^{x} $ não é uma solução da equação diferencial $ y^{(n)} - 2 y^{3} + y = 0 $ no intervalo $ (-\infty, \infty) $.