(a) Calcule as autoenergias e autofunções (funções de onda) para uma partícula de massa m (e^-, elétron) confinada num potencial quadrado infinito de largura a, centrada na origem. Esboce os estados. (b) Para o estado fundamental, calcule os valores esperados de x, px, x^2 e px^2. © Calcule as incertezas de x e px. (d) Porque não existe o estado para n=0 ?
Para o estado fundamental, calcule os valores esperados de x, px, x^2 e px^2.

Passo 1

Beleza! A pergunta é: “Para o estado fundamental de uma partícula num poço infinito de largura centrado na origem, calcule os valores esperados de , , e .”
Conteúdo: mecânica quântica—poço infinito, autofunções, valores esperados.
O que precisamos:
  1. A forma da função de onda do estado fundamental .
  2. A definição de valor esperado .
  3. Propriedades de simetria (paridade) para facilitar e .
  4. Conhecer que e que é autossolução do Hamiltoniano.

Passo 2

Função de onda do estado fundamental ( psi1(x)=raiztfrac2a;cos!l(tfracpi xar), ), no intervalo , é de paridade par:
e vale zero fora do poço.

Passo 3

Valor esperado de lang<= xrang<= =integral-a/2^a/2psi1^*(x),x,psi1(x),dx :
boxedlang<= xrang<==0
Como é função par e é ímpar, o integrando é ímpar e a integral simétrica dá zero:

Passo 4

Valor esperado de lang<= x^2rang<= =integral-a/2^a/22a,x^2cos^2!l(tfracpi xar),dx :
integral-a/2^a/2x^2,dx=a^312, integral-a/2^a/2x^2cos!l(tfrac2pi xar),dx =-a^32pi^2
Usamos lang<= x^2rang<= =2al(12,a^312 +12,(-a^32pi^2)r) =a^212-a^22pi^2 =a^212l(1-6pi^2r) e calculamos
Juntando tudo:

Passo 5

Valor esperado de lang<= pxrang<= =integralpsi1^*(x),(-ihbar),ddxpsi1(x),dx :
boxedlang<= pxrang<==0
Como é real e de paridade par, seu derivada é ímpar, o integrando também é ímpar, e

Passo 6

Valor esperado de E1=hbar^2pi^22m,a^2 :
Usamos que lang<= px^2rang<= =integralpsi1^*(x),(-hbar^2)d^2dx^2psi1(x),dx =2mE1 =hbar^2pi^2a^2 é autofunção do Hamiltoniano com energia
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Resposta

boxed lang<= xrang<=&=0, lang<= pxrang<=&=0, lang<= x^2rang<=&=a^212l(1-6pi^2r), lang<= px^2rang<=&=hbar^2pi^2a^2

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