Verifique se a função tem derivada no ponto indicado e faça um esboço do gráfico para as seguintes funções:
, para
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede para verificar se
é diferenciável em
(isto envolve continuidade e derivadas laterais) e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar a definição de derivada lateral e o fato de que derivabilidade implica continuidade.
Passo 2
Verificamos primeiro se
é contínua em
.
Para temos
Para
Para
e no valor
usamos o ramo de
:
Como
,
é contínua em
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas laterais em
.
Para ,
tem derivada
Para
portanto
Para
,
tem derivada
logo
Como
, a derivada existe e vale
.
Passo 4
Esboço do gráfico:
- Para
, é a parábolatnadura para cima , com vértice em e passando em . - Para
, é a parábola voltada para baixo , com vértice em e também passando em .
Os dois ramos se encontram suavemente emcom tangente comum de inclinação , conferindo aspecto de curva única sem quina.
Resposta
A função é diferenciável em
, pois é contínua e as derivadas laterais coincidem em
. O gráfico é o encontro das parábolas
(para
) e
(para
), unidas em
com mesma inclinação.