Verifique se a função tem derivada no ponto indicado e faça um esboço do gráfico para as seguintes funções:
f(x)=\left\{\begin{aligned}-x^{{2}}+4 x-3, & \text {{ se }} x \geq 1 \\\ x^{{2}}-1, & \text {{ se }} x<1\end{aligned}\right., para x=1

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases} -x^{2}+4x-3, & \text{se }x\ge1,\\\ x^{2}-1, & \text{se }x<1, \end{cases}
e pede para verificar se f é diferenciável em x=1 (isto envolve continuidade e derivadas laterais) e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar a definição de derivada lateral e o fato de que derivabilidade implica continuidade.

Passo 2

Verificamos primeiro se f é contínua em x=1.
Para x\to1^- temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x^2-1)=1-1=0.
Para x\to1^+ e no valor x=1 usamos o ramo de x\ge1:
f(1)=-(1)^2+4\cdot1-3=-1+4-3=0,
\lim_{x\to1^+}f(x)=0.
Como \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=0, f é contínua em x=1.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em x=1.
Para x<1, f(x)=x^2-1 tem derivada
f'_-(x)=2x,
portanto
f'_-(1)=2\cdot1=2.
Para x>1, f(x)=-x^2+4x-3 tem derivada
f'_+(x)=-2x+4,
logo
f'_+(1)=-2\cdot1+4=2.
Como f'_-(1)=f'_+(1)=2, a derivada existe e vale 2.

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Para x<1, é a parábolatnadura para cima y=x^2-1, com vértice em (0,-1) e passando em (1,0).
  • Para x\ge1, é a parábola voltada para baixo y=-x^2+4x-3, com vértice em (2,1) e também passando em (1,0).
    Os dois ramos se encontram suavemente em (1,0) com tangente comum de inclinação 2, conferindo aspecto de curva única sem quina.

Resposta

A função é diferenciável em x=1, pois é contínua e as derivadas laterais coincidem em 2. O gráfico é o encontro das parábolas y=x^2-1 (para x<1) e y=-x^2+4x-3 (para x\ge1), unidas em (1,0) com mesma inclinação.

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