Encontre a equação da reta tangenta a curva dada no ponto dado para:
f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+1} \quad, \quad\left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,3)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida por
f(x)=\sqrt{x^{2}+2x+1}
no ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=(2,3).
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada (regra da cadeia) e uso da fórmula da reta tangente
y - y_{0} = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).

Passo 2

Para simplificar a função, note que
x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2},
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f(x)=\sqrt{(x+1)^{2}} = \lvert x+1\rvert.
Como no ponto x_{0}=2 temos x_{0}+1=3>0, nesta vizinhança vale f(x)=x+1.

Passo 3

Usando a regra da cadeia na forma original,
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+2x+1}}\cdot(2x+2) =\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^{2}}} =\operatorname{sgn}(x+1).
Para x=2, \operatorname{sgn}(3)=1. Portanto
f'(2)=1.

Passo 4

A reta tangente em \bigl(2,3\bigr) é dada por
y - 3 = 1\,(x - 2),
ou seja
y = x + 1.

Resposta

y = x + 1

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