Verifique se a função
é solução da equação da condução do calor
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para verificar se ela satisfaz a equação
Informações relevantes que vou usar (assumindo que o enunciado tem um pequeno erro de digitação):
- Vou interpretar
como . Portanto trabalho com . - As letras
, e são constantes (amplitude, número de onda e coeficiente, respectivamente). - A verificação consiste em calcular
e e checar se a igualdade da equação é verdadeira para todos e .
Passo 2
Entendendo derivadas parciais: a derivada parcial em relação a
, escrita
, trata
como constante. Se uma função não depende de
, sua derivada parcial em relação a
é zero. Aqui
não tem
explícito, portanto
Explicação curta: como não há
na expressão, ao diferenciar com respeito a
nada muda — resultado zero.
Passo 3
Agora calculo
. A derivada de
em relação a
usa a regra da cadeia:
. Como
é constante, sai como fator:
Pequena lembrança: regra da cadeia diz que ao diferenciar
multiplica-se pela derivada do “algo”.
Passo 4
Faço a segunda derivada espacial
derivando
em relação a
. A derivada de
é
, então
Portanto
.
Passo 5
Agora substituo na equação do calor. O lado esquerdo é
e o lado direito é
A equação exige
para todo
e
. Isso equivale a exigir que o produto
seja identicamente zero.
Passo 6
Analisando quando a igualdade pode ocorrer para todos
:
- Se
então e a igualdade vale (função trivial). - Se
então e também (mesma solução trivial). - Se
então a equação do calor vira ; como aqui de fato, a igualdade vale — é um caso degenerado fisicamente (sem difusão). - Para valores gerais
, , a função não é identicamente zero, logo não é zero para todos e a equação NÃO é satisfeita.
Passo 7
Observação didática útil: a forma clássica de solução obtida por separação de variáveis para modos harmônicos espaciais é
Se você quiser ver por que isso funciona, calcule
e
. Assim
ou seja, essa forma com o fator exponencial temporal resolve o problema para modos
.
Resposta
Não,
não é solução da equação do calor em geral.
É solução somente nos casos triviais (função zero),
(função zero) ou
(equação degenerada
).
É solução somente nos casos triviais