Verifique se a função U(x, t)=e \operatorname{sun}(k x) é solução da equação da condução do calor
U_{t}=d^{2} U_{x x}

Passo 1

O enunciado fornece a função U(x,t)=e\operatorname{sun}(k x) e pede para verificar se ela satisfaz a equação
U_{t}=d^{2}U_{x x}.
Informações relevantes que vou usar (assumindo que o enunciado tem um pequeno erro de digitação):
  • Vou interpretar \operatorname{sun}(k x) como \sin(kx). Portanto trabalho com U(x,t)=e\sin(kx).
  • As letras e, k e d são constantes (amplitude, número de onda e coeficiente, respectivamente).
  • A verificação consiste em calcular U_{t} e U_{xx} e checar se a igualdade da equação é verdadeira para todos x e t.

Passo 2

Entendendo derivadas parciais: a derivada parcial em relação a t, escrita U_{t}, trata x como constante. Se uma função não depende de t, sua derivada parcial em relação a t é zero. Aqui U(x,t)=e\sin(kx) não tem t explícito, portanto
U_{t}=0.
Explicação curta: como não há t na expressão, ao diferenciar com respeito a t nada muda — resultado zero.

Passo 3

Agora calculo U_{x}. A derivada de \sin(kx) em relação a x usa a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx). Como e é constante, sai como fator:
U_{x}=e\cdot \frac{d}{dx}\sin(kx)=e\cdot k\cos(kx)=ek\cos(kx).
Pequena lembrança: regra da cadeia diz que ao diferenciar \sin(\text{algo}) multiplica-se pela derivada do “algo”.

Passo 4

Faço a segunda derivada espacial U_{xx} derivando U_{x} em relação a x. A derivada de \cos(kx) é -k\sin(kx), então
U_{xx}=\frac{d}{dx}(ek\cos(kx))=ek\cdot(-k\sin(kx))=-ek^{2}\sin(kx).
Portanto U_{xx}=-ek^{2}\sin(kx).

Passo 5

Agora substituo na equação do calor. O lado esquerdo é
U_{t}=0,
e o lado direito é
d^{2}U_{xx}=d^{2}\bigl(-ek^{2}\sin(kx)\bigr)=-d^{2}ek^{2}\sin(kx).
A equação exige 0=-d^{2}ek^{2}\sin(kx) para todo x e t. Isso equivale a exigir que o produto d^{2}ek^{2}\sin(kx) seja identicamente zero.

Passo 6

Analisando quando a igualdade pode ocorrer para todos x:
  • Se e=0 então U\equiv0 e a igualdade vale (função trivial).
  • Se k=0 então \sin(kx)=\sin(0)=0 e U\equiv0 também (mesma solução trivial).
  • Se d=0 então a equação do calor vira U_{t}=0; como aqui U_{t}=0 de fato, a igualdade vale — é um caso degenerado fisicamente (sem difusão).
  • Para valores gerais e\neq0, k\neq0, d\neq0 a função \sin(kx) não é identicamente zero, logo -d^{2}ek^{2}\sin(kx) não é zero para todos x e a equação NÃO é satisfeita.

Passo 7

Observação didática útil: a forma clássica de solução obtida por separação de variáveis para modos harmônicos espaciais é
U(x,t)=\mathrm{e}^{-d^{2}k^{2}t}\sin(kx).
Se você quiser ver por que isso funciona, calcule U_{t}=-d^{2}k^{2}\mathrm{e}^{-d^{2}k^{2}t}\sin(kx) e U_{xx}=-k^{2}\mathrm{e}^{-d^{2}k^{2}t}\sin(kx). Assim
U_{t}= -d^{2}k^{2}\mathrm{e}^{-d^{2}k^{2}t}\sin(kx)=d^{2}U_{xx},
ou seja, essa forma com o fator exponencial temporal resolve o problema para modos \sin(kx).

Resposta

Não, U(x,t)=e\sin(kx) não é solução da equação do calor em geral.
É solução somente nos casos triviais e=0 (função zero), k=0 (função zero) ou d=0 (equação degenerada U_{t}=0).

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