Determine a derivada direcional da função
No ponto
na direção do vetor
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor dado. Informação fornecida:
o ponto
e o vetor direção
A pergunta é: qual é a derivada direcional de
em
ao longo desse vetor direção?
Passo 2
O que é a derivada direcional, de forma prática? Vou explicar de um jeito direto: a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
nessa direção. Uma definição por limite é
Quando a função
é diferenciável (o que ocorre aqui, salvo na origem), existe uma forma mais prática: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário de direção
:
Vou usar essa fórmula porque é a forma mais rápida e segura na prova — por isso precisamos calcular o gradiente e normalizar o vetor direção.
Passo 3
Calcular o gradiente
. Primeiro escrevo
como potência:
Derivando parcialmente em relação a
aplicando a regra da cadeia:
De modo análogo,
Portanto o gradiente é
Aqui cada componente indica a taxa de variação de
na direção dos eixos
.
Passo 4
Avalio o gradiente no ponto
. Primeiro calcule a norma
no denominador:
Logo
Passo 5
Normalizar o vetor direção
. Calculo a norma de
:
O vetor unitário
na direção de
é
Passo 6
Agora uso a fórmula da derivada direcional como produto escalar:
Faço o produto componente a componente: