Determine a derivada direcional da função
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
No ponto P(1,2,-2) na direção do vetor \langle-2,+2,-1\rangle

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor dado. Informação fornecida:
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
o ponto
P(1,2,-2),
e o vetor direção
\langle -2,+2,-1\rangle.
A pergunta é: qual é a derivada direcional de f em P ao longo desse vetor direção?

Passo 2

O que é a derivada direcional, de forma prática? Vou explicar de um jeito direto: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P nessa direção. Uma definição por limite é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h}.
Quando a função f é diferenciável (o que ocorre aqui, salvo na origem), existe uma forma mais prática: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário de direção \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Vou usar essa fórmula porque é a forma mais rápida e segura na prova — por isso precisamos calcular o gradiente e normalizar o vetor direção.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla f. Primeiro escrevo f como potência:
f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
Derivando parcialmente em relação a x aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Portanto o gradiente é
\boxed{\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\;\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right).}
Aqui cada componente indica a taxa de variação de f na direção dos eixos x,y,z.

Passo 4

Avalio o gradiente no ponto P(1,2,-2). Primeiro calcule a norma r no denominador:
r=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Logo
\nabla f(1,2,-2)=\left(\frac{1}{3},\;\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3}\right).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \mathbf{v}=\langle -2,2,-1\rangle. Calculo a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
O vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v} é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(-\frac{2}{3},\;\frac{2}{3},\;-\frac{1}{3}\right).

Passo 6

Agora uso a fórmula da derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(1,2,-2)\cdot \mathbf{u}.
Faço o produto componente a componente:
\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) =-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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