Se
, determine
e
de tal forma que
tenha um extremo relativo em
e tal que o gráfico de
tenha um ponto de inflexão em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função cúbica $ f(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d $ e precisamos encontrar os coeficientes $ a, b, c $ e $ d $. A questão nos diz que $ f $ tem um extremo relativo no ponto $ A(0,6) $ e um ponto de inflexão em $ B(1,4) $. Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso, especificamente derivadas para encontrar extremos e inflexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um extremo relativo em $ A(0,6) $. Isso quer dizer que quando $ x = 0 $, a função atinge um ponto máximo ou mínimo. Para isso acontecer, a derivada primeira da função nesse ponto deve ser zero. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada primeira de $ f(x) $:
Agora, aplicamos a condição de que $ f’(0) = 0 $:
Então, já sabemos que $ c = 0 $.
Passo 4
Agora, sabemos que a função passa pelo ponto $ A(0,6) $. Isso significa que quando $ x = 0 $, $ f(x) = 6 $. Vamos substituir na função original:
Então, $ d = 6 $.
Passo 5
Vamos agora utilizar a informação do ponto de inflexão em $ B(1,4) $. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, a derivada segunda é zero nesse ponto. Vamos calcular a derivada segunda de $ f(x) $:
Aplicando a condição $ f’’(1) = 0 $:
Simplificando:
Passo 6
Ainda temos que a função passa pelo ponto $ B(1,4) $. Vamos usar isso para encontrar mais uma equação. Substituímos $ x = 1 $ e $ f(1) = 4 $ na função original:
Sabemos que $ c = 0 $ e $ d = 6 $, então:
Substituindo $ b = -3a $:
Passo 7
Agora que temos $ a = 1 $, podemos encontrar $ b $:
E já sabemos que $ c = 0 $ e $ d = 6 $.
Resposta
Os coeficientes são: