(1,0)Se f(x)=a x^3+b x^2+c x+d, determine a, b, c e d de tal forma que f tenha um extremo relativo em A(0,6) e tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em B(1,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função cúbica $ f(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d $ e precisamos encontrar os coeficientes $ a, b, c $ e $ d $. A questão nos diz que $ f $ tem um extremo relativo no ponto $ A(0,6) $ e um ponto de inflexão em $ B(1,4) $. Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso, especificamente derivadas para encontrar extremos e inflexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um extremo relativo em $ A(0,6) $. Isso quer dizer que quando $ x = 0 $, a função atinge um ponto máximo ou mínimo. Para isso acontecer, a derivada primeira da função nesse ponto deve ser zero. Ou seja:
A(0,6)

Passo 3

Vamos calcular a derivada primeira de $ f(x) $:
f(x)
Agora, aplicamos a condição de que $ f’(0) = 0 $:
f'(x) = 3a x^2 + 2b x + c
Então, já sabemos que $ c = 0 $.

Passo 4

Agora, sabemos que a função passa pelo ponto $ A(0,6) $. Isso significa que quando $ x = 0 $, $ f(x) = 6 $. Vamos substituir na função original:
A(0,6)
Então, $ d = 6 $.

Passo 5

Vamos agora utilizar a informação do ponto de inflexão em $ B(1,4) $. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, a derivada segunda é zero nesse ponto. Vamos calcular a derivada segunda de $ f(x) $:
B(1,4)
Aplicando a condição $ f’’(1) = 0 $:
f(x)
Simplificando:
f''(x) = 6a x + 2b

Passo 6

Ainda temos que a função passa pelo ponto $ B(1,4) $. Vamos usar isso para encontrar mais uma equação. Substituímos $ x = 1 $ e $ f(1) = 4 $ na função original:
B(1,4)
Sabemos que $ c = 0 $ e $ d = 6 $, então:
x = 1
Substituindo $ b = -3a $:
f(1) = 4

Passo 7

Agora que temos $ a = 1 $, podemos encontrar $ b $:
a = 1
E já sabemos que $ c = 0 $ e $ d = 6 $.

Resposta

Os coeficientes são:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 6

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