Verifique se a função
é harmônica.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é harmônica.
Informações relevantes: a função está em três variáveis e os coeficientes num expoente e no argumento do cosseno são constantes (
e
). O que precisamos verificar é se a soma das derivadas parciais segundas em relação a
(o laplaciano) é igual a zero.
Informações relevantes: a função está em três variáveis
Passo 2
Definição importante (aulas rápidas de teoria): uma função
é harmônica se o seu laplaciano é zero. O laplaciano em
é
onde
é a segunda derivada parcial de
em relação a
, e analogamente para
e
.
Lembrete sobre derivadas parciais: ao derivar por você trata
e
como constantes; ao derivar por
você trata
e
como constantes. Usaremos a regra da cadeia quando houver composições (por exemplo,
e
).
Lembrete sobre derivadas parciais: ao derivar por
Passo 3
Calcule
e
. Tratando
como constante ao derivar em
, e usando que
(regra da cadeia porque dentro do exponencial há
):
Agora derivamos novamente em
. Como o fator
tem um
que ao derivar gera outro fator
:
Passo 4
Calcule
e
. Agora
é constante e
:
Derivando novamente em
:
Passo 5
Calcule
e
. Agora
é constante ao derivar por
. Use que
e
:
Derivando novamente em
:
Passo 6
Some as segundas derivadas para obter o laplaciano:
Fatorando
:
Como o laplaciano é identicamente zero em todo
, a função é harmônica.
Passo 7
Dica rápida pra prova (motivacional): esse padrão aparece sempre que temos algo do tipo
. O laplaciano dá
, então a condição para harmonicidade é
. Guarda essa fórmula — é um atalho útil em exercícios parecidos. Você está indo bem — respira fundo e vai com calma nos próximos exercícios!
Resposta
Sim. A função é harmônica.