Verifique se a função w=e^{3 x+4 y} \cos 5 z é harmônica.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle w(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos 5z e pede para verificar se ela é harmônica.
Informações relevantes: a função está em três variáveis x,y,z e os coeficientes num expoente e no argumento do cosseno são constantes ( 3,4 e 5). O que precisamos verificar é se a soma das derivadas parciais segundas em relação a x,y,z (o laplaciano) é igual a zero.

Passo 2

Definição importante (aulas rápidas de teoria): uma função w(x,y,z) é harmônica se o seu laplaciano é zero. O laplaciano em \mathbb{R}^3 é
\Delta w = w_{xx}+w_{yy}+w_{zz},
onde w_{xx} é a segunda derivada parcial de w em relação a x, e analogamente para w_{yy} e w_{zz}.
Lembrete sobre derivadas parciais: ao derivar por x você trata y e z como constantes; ao derivar por z você trata x e y como constantes. Usaremos a regra da cadeia quando houver composições (por exemplo, e^{3x+4y} e \cos 5z).

Passo 3

Calcule w_x e w_{xx}. Tratando \cos 5z como constante ao derivar em x, e usando que \dfrac{d}{dx}e^{3x+4y}=3e^{3x+4y} (regra da cadeia porque dentro do exponencial há 3x+4y):
w_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{3x+4y}\cos 5z\big)=3e^{3x+4y}\cos 5z.
Agora derivamos novamente em x. Como o fator 3e^{3x+4y} tem um e^{3x+4y} que ao derivar gera outro fator 3:
w_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3e^{3x+4y}\cos 5z\big)=9e^{3x+4y}\cos 5z.

Passo 4

Calcule w_y e w_{yy}. Agora \cos 5z é constante e \dfrac{\partial}{\partial y}e^{3x+4y}=4e^{3x+4y}:
w_y = 4e^{3x+4y}\cos 5z.
Derivando novamente em y:
w_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(4e^{3x+4y}\cos 5z\big)=16e^{3x+4y}\cos 5z.

Passo 5

Calcule w_z e w_{zz}. Agora e^{3x+4y} é constante ao derivar por z. Use que \dfrac{d}{dz}\cos 5z = -5\sin 5z e \dfrac{d}{dz}\sin 5z = 5\cos 5z:
w_z = e^{3x+4y}\frac{d}{dz}(\cos 5z) = -5e^{3x+4y}\sin 5z.
Derivando novamente em z:
w_{zz} = \frac{\partial}{\partial z}\big(-5e^{3x+4y}\sin 5z\big) = -5e^{3x+4y}\cdot 5\cos 5z = -25e^{3x+4y}\cos 5z.

Passo 6

Some as segundas derivadas para obter o laplaciano:
\Delta w = w_{xx}+w_{yy}+w_{zz}=9e^{3x+4y}\cos 5z + 16e^{3x+4y}\cos 5z -25e^{3x+4y}\cos 5z.
Fatorando e^{3x+4y}\cos 5z:
\Delta w = (9+16-25)\,e^{3x+4y}\cos 5z = 0\cdot e^{3x+4y}\cos 5z = 0.
Como o laplaciano é identicamente zero em todo \mathbb{R}^3, a função é harmônica.

Passo 7

Dica rápida pra prova (motivacional): esse padrão aparece sempre que temos algo do tipo w=e^{ax+by}\cos (cz). O laplaciano dá (a^2+b^2-c^2)e^{ax+by}\cos cz, então a condição para harmonicidade é \displaystyle a^2+b^2=c^2. Guarda essa fórmula — é um atalho útil em exercícios parecidos. Você está indo bem — respira fundo e vai com calma nos próximos exercícios!

Resposta

Sim. A função é harmônica.

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